2013関西学院大 理系（全学部日程） 数学４

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【解答】

　(1)　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt x\left(x-6\right)=x^{\frac{3}{2}}-6x^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　より、第1次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}}=\frac{3(x-2)}{2\sqrt x}\end{align*}}$ ．
　　　となり、
　　　　　　　0＜x＜2で、f’(x)＜0
　　　　　　　x=2で、f’(x)=0
　　　　　　　2＜xで、f’(x)＞0
　　　なので、x=2 で極小値をとり、
　　　その値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=\sqrt 2\left(2-6\right)=\underline{\ -4\sqrt 2\ }\end{align*}}$ ．
　　　また、第2次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}=\frac{3(x+2)}{4x\sqrt x}\end{align*}}$
　　　となるので、x＞0の範囲で常にf”(x)＞0となる。
　　　よって、x＞0の範囲でCは常に下に凸である。

　(2)
　　　(1)より、点(p，f(p)))における接線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sqrt p(p-6)=\frac{3(p-2)}{2\sqrt p}(x-p)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{3(p-2)}{2\sqrt p}\ x-\frac{1}{2}\sqrt p(p+6)\end{align*}}$
　　　となるので、接線のy切片は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{2}\sqrt p(p+6)\ }\end{align*}}$
　　　である。

　(3)
　　　(2)で求めたy切片が－10なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\sqrt p(p+6)=-10\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt p\right)^3-6\sqrt p-20=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt p-2\right)\left\{\left(\sqrt p\right)^2+2\sqrt p+10\right\}=0\end{align*}}$　．
　　　ここで、pは実数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt p=2\ \ \Leftrightarrow\ \ p=4\end{align*}}$ ．
　　　このとき接線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{3}{2}\ x-10\ }\end{align*}}$

　(4)
　　　(1)よりCは下に凸な曲線なので、CはLより常に上側にある。
　　　よって、C、L、y軸で囲まれた面積Sは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^4\left\{\sqrt x(x-6)-\left(\frac{3}{2}\ x-10\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-4x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}x^2+10x\right]_0^4\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{5}\cdot 2^5-4\cdot 2^3-\frac{3}{4}\cdot 4^2+40\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{44}{5}\ }\end{align*}}$


　　計算が面倒ですな・・・