2013関西学院大 理系（全学部日程） 数学２

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【解答】

　(1)
　　　与式を平方完成すると、
　　　　　　　　{x－(p+2)}²+(y+p²)²=p³－6p²+9p+4
　　　となるので、中心の座標を（X，Y)とすると、
　　　　　　　　X=p+2、　Y=－p² ．
　　　これらからpを消去すると、
　　　　　　　　Y=－(X－2)²　
　　　となり、p＞0よりx＞2である。
　　　よって、頂点の軌跡は、
　　　放物線y=－(x－2)²のx＞2の部分である。

　(2)
　　　pの関数f(p)を
　　　　　　　　f(p)=p³－6p²+9p+4　（p＞0）
　　　とおくと、導関数は、
　　　　　　　　f’(p)=3p²－12p+9
　　　　　　　　　　　 =3(p－1)(p－3)
　　　となるので、f(p)の増減は次のようになる。
　　　　　　　
　　　円Cの半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{f\ (p)}\end{align*}}$ となるので、
　　　p=3のとき、半径は最小となり、その値は2である。

　(3)
　　　p=3のとき、Cは　
　　　　　　　　(x－5)²+(y+9)²=4
　　　となり、中心をD(5，－9)とする。
　　　直線OAの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{4}x\ \ \Leftrightarrow\ \ 3x-4y=0\end{align*}}$
　　　であり、中心Dから直線OAまでの距離とdとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|15+36|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{51}{5}\end{align*}}$ ．
　　　よって、円C上の点Bから直線OAまでの距離をhとすると、
　　　　　　　hの最大値=d+半径
　　　　　　　hの最小値=d－半径
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{41}{5}\leqq h\leqq \frac{61}{5}\end{align*}}$　　････①
　　　また、線分OAの長さは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=\sqrt{4^2+3^2}=5\end{align*}}$
　　　なので、△OABの面積Sは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}OA\cdot h=\frac{5}{2}h\end{align*}}$
　　　として求めることができる。これと①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{41}{2}\leqq S\leqq \frac{61}{2}\ }\end{align*}}$
　　　となる。




　　急いでいるので図は省略です・・・