第4問
rは正の実数とする。2つの実数x、yに対してp=x+y、q=xyとおく。
次の問いに答えよ。
(1) x2+y2=r2のとき、qをpの式で表せ。また、pのとりうる値の範囲を
求めよ。
(2) 点(x，y)が円x2+y2=r2の上を動くときの点(p，q)の軌跡をCrとする。
Crの概形を描け。
(3) rが1≦r≦2の範囲で変化するとき、Crが通る座標平面上の範囲を
図示せよ。
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【解答】
(1)
与式を変形していくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2=r^2\ \ \Leftrightarrow\ \ (x+y)^2-2xy=r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-2q=r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=\underline{\ \frac{p^2-r^2}{2}}\end{align*}}$ ････①
また、解と係数の関係より、x、yはtについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-xt+y=0\end{align*}}$
の2解であり、x、yは実数なので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=p^2-4q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ q\leqq \frac{1}{4}p^2\end{align*}}$ ････②
これに①’を代入すると、r＞0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^2-r^2}{2}\leqq \frac{1}{4}p^2\ \ \Leftrightarrow\ \ p^2\leqq 2r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -\sqrt2r\leqq p\leqq \sqrt2r\ }\end{align*}}$
(2)
pq平面における放物線①を②の範囲で
図示すると、右図のようになる。
(3)
①において、1≦r≦2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}p^2-2\leqq q\leqq \frac{1}{2}p^2-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
これと②を満たす領域を図示すると
右図のようになる。
（境界線上の点を含む）
pの変域はいろいろな求め方があると思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/06(木) 02:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2009(Ａ日程)
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