2009関西学院大 理系（Ａ日程） 数学３

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【解答】

　(1)
　　　x+y=4をみたす1以上の整数x、yの組(x，y)は、
　　　　　　　　(x，y)=(1，3)、(2，2)、(3，1)．

　(2)
　　　x+y=mをみたす1以上の整数x、yの組(x，y)は、
　　　　　　　　(x，y)=(1，m－1)、(2，m－2)、･･･、(m－1，1)
　　　なので、
　　　　　　　　a_m=m－1．

　(3)
　　　x、yは1以上の整数なので、
　　　　　　　　x+y=6－2z≧2　⇔　z≦2 ．
　　　z=1のとき
　　　　　　x+y=4となり、これを満たす(x，y)の組は
　　　　　　　　(x，y)=(1，3)、(2，2)、(3，1)
　　　z=2のとき
　　　　　　x+y=2となり、これを満たす(x，y)の組は
　　　　　　　　(x，y)=(1，1)
　　　以上より、題意を満たすx，y，zの組は、
　　　　　　(x，y，z)=(1，3，1)、(2，2，1)、(3，1，1)、(1，1，2)．

　(4)
　　　・b₄について
　　　　　　　　x+y=4－2z≧2　⇔　z≦1 ．
　　　　　z=1のとき
　　　　　　x+y=2となり、これを満たす(x，y)の組は、a₂個。
　　　　　　よって、b₄=a₂=1

　　　・b₅について
　　　　　　　　x+y=5－2z≧2　⇔　z≦1.5 ．
　　　　　z=1のとき
　　　　　　x+y=3となり、これを満たす(x，y)の組は、a₃個。
　　　　　　よって、b₅=a₃=2
　　　　
　　　・b₆について
　　　　　　(3)より
　　　　　　　　b₆=a₄+a₂=4

　　　・b₇について
　　　　　　　　x+y=7－2z≧2　⇔　z≦2.5 ．
　　　　　z=1のとき
　　　　　　x+y=5となり、これを満たす(x，y)の組は、a₅個。
　　　　　z=2のとき
　　　　　　x+y=3となり、これを満たす(x，y)の組は、a₃個。
　　　　　　よって、b₇=a₃+a₅=6

　(5)
　　　・nが偶数のとき
　　　　　　n=2N（N≧2）とおくと、
　　　　　　　　x+y=2N－2z≧2　⇔　z≦N－1 ．
　　　　　　z=k（k=1、2、･･･、N－1）のとき、
　　　　　　　　x+y=2N－2kとなり、これを満たす(x，y)の組は、
　　　　　　　　a_2N－2k=2N－2K－1個。
　　　　　　よって、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n}=b_{2N}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{N-1}(2N-2K-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\cdot\frac{1}{2}N(N-1)+(2N-1)(N-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(N-1)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n}{2}-1\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left(n-2\right)^2\ }\end{align*}}$ ．

　　　・nが奇数のとき
　　　　　　n=2N+1（N≧2）とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+y=2N+1-2z\geqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ z\leqq N-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　　　　z=k（k=1、2、･･･、N－1）のとき、
　　　　　　　　x+y=2N+1－2kとなり、これを満たす(x，y)の組は、
　　　　　　　　a_2N+1－2k=2N－2K個。
　　　　　　よって、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n}=b_{2N+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{N-1}(2N-2K)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\cdot\frac{1}{2}N(N-1)+2N(N-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =N(N-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n-1}{2}\cdot\left(\frac{n-1}{2}-1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left(n-3\right)\left(n-1\right)\ }\end{align*}}$ ．

　　　これらより、nが偶数のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{4}\left(1-\frac{2}{n}\right)^2=\frac{1}{4} \end{align*}}$ 　････①
　　　nが奇数のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{4}\left(1-\frac{3}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{4} \end{align*}}$ 　････②
　　　①、②の値が一致するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}=\underline{\ \frac{1}{4} }\end{align*}}$



　　(4)で場合分けが必要なのは、(3)の結果から予想できますよね。