ア r－r’+d　　　　イ r+r’－d　　　　ウ r+r’+d

　　エ －r+r’+d　　　　オ 2rr’　　　カ 2rr’　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r^2}{a}\end{align*}}$　

　　ク a sin$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　ケ a cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2-r^2}{2a\cos\theta}\end{align*}}$　　

　　サ r²－a²sin²$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　シ 0　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　

【解説】

　(1)
　　　各点の位置関係は右図のようになるので、
　　　　　AD=AO+OO’－DO’
　　　　　　　=r－r’+d　　････ア　
　　　　　BD=BO++OA－OO’
　　　　　　　=r+r’－d　　････イ　
　　　　　AC=AO+OO’+O’C
　　　　　　　=r+r’+d　　････ウ　
　　　　　BC=O’C+OO’－OB
　　　　　　　=－r+r’+d　　････エ　
　　　これらと、d²=r²+r’²を用いると、
　　　　　AD･BC
　　　　=(r－r’+d)(－r+r’+d)
　　　　=－r²+2rr’－r’²+d²
　　　　=2rr’　　････オ

　　　　　BD･AC
　　　　=(r+r’－d)(r+r’+d)
　　　　=r²+2rr’+r’²－d²
　　　　=2rr’　　････カ

　(2)
　　　△OPQ∽△OQSより
　　　　　　　　OQ：OS=OP：OQ
　　　　　　⇔　r：OS=a：r
　　　　　　⇔　OS=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{r^2}{a}}\end{align*}}$　　････キ
　　　OM⊥PAなので、△OPMにおいて、
　　　　　　OM=OPsin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　=a sin$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　････ク
　　　　　　PM=OPcos$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　=a cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　････ケ
　　　また、OP⊥QRより、△PSRにおいて、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PT=\frac{PS}{\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{OP-OS}{\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2-r^2}{a\cos\theta}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PN=\frac{1}{2}PT=\underline{\ \frac{a^2-r^2}{2a\cos\theta}}\end{align*}}$　　････コ
　　　△OBMにおいて、三平方の定理より、
　　　　　　MB²=OB²－OM²
　　　　　　　　　=r²－a²sin²$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　････サ
　　　これらを用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf MB^2+PN^2-MN^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =MB^2+PN^2-(PM-PN)^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^2-a^2\sin^2\theta-a^2\cos^2\theta+2a\cdot\frac{a^2-r^2}{2a\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^2-a^2+(a^2-r^2)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0\ }\end{align*}}$　　････シ
　　　さらに、
　　　　　　　AT=AM+MN－NT=BM+MN－PN
　　　　　　　BP=PN+NB=PN+MN－BM
　　　なので、
　　　　　　　AT･BP=(BM+MN－PN)(PN+MN－BM)
　　　　　　　　　　　 =(MB²+PN²－MN²)+2BM･NP
　　　　　　　　　　　 =2BM･NP　　←シより
　　　　　　　　　　　 =2AM･NP
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{AM}{AT}\cdot\frac{NP}{BP}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$　････ス



　　最後のスが難しいでしょうね。