ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}x^2-x+2\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{29}{2}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{15}{16}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt{31}}{16}\end{align*}}$　　　　

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{-3}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{\frac{1}{4}}\end{align*}}$　　　　ク 1　　　　ケ 0　　　　コ 1　　

　　サ 5　　　　シ 0　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt5\end{align*}}$　　　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt5 + 1}{2}\end{align*}}$　　　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt5 - 1}{2}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　(1)
　　　与えられた放物線を原点に関して対称移動すると、　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -y=\frac{1}{2}(-x)^2-(-x)-2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{2}x^2-x+2}\end{align*}}$　････ア
　　　であり、もとの放物線との交点のx座標は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}x^2-x-2=-\frac{1}{2}x^2-x+2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2\end{align*}}$
　　　となる。よって、2つの放物線で囲まれた部分の面積Sは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^2\left\{\left(-\frac{1}{2}x^2+x-2\right)-\left(\frac{1}{2}x^2-x-2\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_0^2\ (x+2)(x-2)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{2-(-2)\right\}^3\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32}{3}\ }\end{align*}}$　････イ

　(2)
　　　余弦定理より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\frac{-4^2+6^2+3^2}{2\cdot 6\cdot 3}=\frac{29}{36}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=6\cdot 3\cdot\frac{29}{36}=\underline{\ \frac{29}{2}}\end{align*}}$　････ウ

　(3)
　　　与式の両辺を2乗すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=\frac{1}{16}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin x\cos x=1-\frac{1}{16}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin2x=\underline{\ \frac{15}{16}}\end{align*}}$　････エ
　　　また、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sin x+\cos x\right)^2=\sin^2 x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1+\frac{15}{16}=\frac{31}{16}\end{align*}}$
　　　であり、xは第1象限の角なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x+\cos x=\frac{\sqrt{31}}{4}\ (>0)\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x )\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{31}}{4}=\underline{\ -\frac{\sqrt{31}}{16}\ }\end{align*}}$　　････オ

　(4)
　　　与式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\log_2 x\right)^2=\log_4\sqrt{\frac{8}{x^{11}}}=\frac{1}{2}\left(\log_4 8-\log_4 11\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_2 x\right)^2=\frac{1}{2}\left(\frac{\log_28}{\log_24}-\frac{11\log_2x}{\log_24}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_2 x\right)^2=\frac{1}{4}\left(3+\log_2 x\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4(\log_2 x)^2+11\log_2x-3=(4\log_2 x-1)(\log_2x+3)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2 x=-3\ ,\ \frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ 2^{-3}\ ,\ 2^{\frac{1}{4}}\ }\end{align*}}$

　(5)
　　　両辺にx(x²+1)をかけると、
　　　　　x⁴+7x+1=Ax²(x²+1)+Bx(x²+1)+C(x²+1)+x(Dx+E)
　　　　　　　　　　　　=Ax⁴+Bx³+(A+C+D)x²+(B+E)x+C
　　　となるので、係数を比較すると、
　　　　　　　　　　A=1、B=0、A+C+D=7、B+E=0、C=1
　　　　　　　　⇔　A=1、B=0、C=1、D=5、E=0　････ク～シ
　　　このとき、与式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^4+7x^2+1}{x(x^2+1)}=x+\frac{1}{x}+\frac{5x}{x^2+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^2+1}{x}+\frac{5x}{x^2+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\sqrt{\frac{x^2+1}{x}\cdot\frac{5x}{x^2+1}}\end{align*}}$　←相加･相乗平均
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 2\sqrt5\end{align*}}$
　　　となるので、最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt5}\end{align*}}$ となる。
　　　このとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2+1}{x}=\frac{5x}{x^2+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2+1)^2=5x^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4-3x^2+1=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=\frac{3\pm\sqrt5}{2}\ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt5}{2}}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{6\pm 2\sqrt5}}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt5 \pm 1}{2}\ }\end{align*}}$



　　(5)の相加相乗平均は気づきにくいかもしれませんね。