① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt2-3}{4}\end{align*}}$　　　　② 3　　　　③ 1　　　　④ 5　　　　⑤ －1　　　　

　　⑥ 1　　　

【解説】

　(1)
　　　与えられた関数をf(x)とすると、x≠2のときは微分可能なので、
　　　f(x)が微分可能になるためには、x=2において微分可能であればよい。
　　　まず、x=2で連続である必要があるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=\lim_{x\rightarrow 2-0}\ f\ (x)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt2+3=4a+2b\end{align*}}$　････(ア)
　　　また、微分係数に関して
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{f\ (2+h)-f\ (2)}{h}=\lim_{h\rightarrow -0}\ \frac{f\ (2+h)-f\ (2)}{h}\end{align*}}$
　　　となればよい。
　　　左辺は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{\left\{\sqrt{(2+h)^2-2}+3\right\}-\left(\sqrt2+3\right)}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{\sqrt{(2+h)^2-2}-\sqrt2}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{\left\{(2+h)^2-2\right\}-2}{h\left\{\sqrt{(2+h)^2-2}+\sqrt2\right\}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{h+4}{\sqrt{(2+h)^2-2}+\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{\sqrt{2^2-2}+\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\end{align*}}$
　　　右辺は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow -0}\ \frac{f\ (2+h)-f\ (2)}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow -0}\frac{\left\{a(2+h)^2+b(2+h)\right\}-(4a+2b)}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow -0}\frac{a(h^2+4h)+bh}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow -0}\left\{a(h+4)+b\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4a+b\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4a+b=\sqrt2\end{align*}}$　････(イ)
　　　(ア)、(イ)を連立させて解くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{\sqrt2-3}{4}\ \ ,\ \ b=3\ }\end{align*}}$
　　　となる。


　(2)
　　　整数解をp、q（p≦q）とおくと、解と係数の関係より
　　　　　　　　　　p+q=－m－3、　pq=3m+1　････(ウ)
　　　これらよりmを消去すると、
　　　　　　　　　　pq=3(－3－p－q)+1
　　　　　　　　⇔　pq+3p+3q=－8
　　　　　　　　⇔　(p+3)(q+3)=1
　　　となり、p+3とq+3はともに整数なので、
　　　　　　　　　(p+3，q+3)=(1，1)、(－1，－1)
　　　　　　　⇔　(p，q)=(－2，－2)、(－4，－4)
　　　これらを(ウ)に代入すると、
　　　　　　　　　m=1，5
　　　となる。

　(3)
　　　pを実数として、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}+\frac{p}{(k+1)!}\end{align*}}$
　　　とおく。両辺に(k+1)!をかけると、
　　　　　　　　k=(k+1)+p　⇔　p=－1　････⑤
　　　これより、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k-1}^n \frac{k}{(k+1)!}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k-1}^n \left\{\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\frac{1}{1!}-\frac{1}{(n+1)!}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$