2010関西大 理系（全学部） 数学１

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【解答】

　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\end{align*}}$
　　　とおくと、f(x)の1次導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}-(\log x)\cdot\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{x}=\frac{2-\log x}{2x^{\frac{3}{2}}}\end{align*}}$
　　　となるので、f’(x)=0となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^2\end{align*}}$
　　　のとき。
　　　また、2次導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{3}{2}}-(2-\log x)\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\cdot\frac{-2-3(2-\log x)}{x^{\frac{5}{2}}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{8-3\log x}{4x^{\frac{5}{2}}}\end{align*}}$
　　　となるので、f”(x)=0となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\frac{8}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\frac{8}{3}}\end{align*}}$
　　　のとき。
　　　これらより、増減・凹凸およびグラフの概形は下のようになる。

　　　

　(2)
　　　(1)よりCの変曲点は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(e^{\frac{8}{3}}\ ,\ \frac{8}{3e^{\frac{4}{3}}}\right)\end{align*}}$
　　　であり、この点における接線の傾きは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(e^{\frac{8}{3}}\right)=\frac{2-\frac{8}{3}}{2\left(e^{\frac{8}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{3e^4}\end{align*}}$ ．
　　　よって、変曲点における接線Lの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{8}{3e^{\frac{4}{3}}}=-\frac{1}{3e^4}\left(x-e^{\frac{8}{3}}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{3e^4}x+\frac{3}{e^{\frac{4}{3}}}\end{align*}}$ ．
　　　これにy=0を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{3e^4}x+\frac{3}{e^{\frac{4}{3}}}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=9e^{\frac{8}{3}}\end{align*}}$
　　　となるので、Lとx軸の交点の座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(9e^{\frac{8}{3}}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。

　(3)
　　　曲線C、直線Lおよびx軸によって囲まれた部分は
　　　下図のようになるので、これをx軸の周りに回転
　　　させて得られる回転体の体積は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_1^{e^{\frac{8}{3}}}\left(\frac{\log x}{\sqrt x}\right)^2dx+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{3e^{\frac{4}{3}}}\right)^2\cdot\left(9e^{\frac{8}{3}}-e^{\frac{8}{3}}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_1^{e^{\frac{8}{3}}}\frac{(\log x)^2}{ x}dx+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_1^{e^{\frac{8}{3}}}(\log x)^2(\log x)'\ dx+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{3}(\log x)^3\right]_1^{e^{\frac{8}{3}}}+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3}\left\{\left(\frac{8}{3}\right)^3-0\right\}+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2048}{81}\pi\ }\end{align*}}$





　　数字が少しイヤな感じですが頑張りましょう！