2011名古屋大 文系 数学３

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【解答】

　　(１)
　　　　P(x，y)とおくと、OP²：AP²＝1：a²より
　　　　　　a²(x²＋y²)＝(x－1)²＋y²
　　　　これを整理すると、
　　　　　　(a²－1)x²＋(a²－1)y²＋2x－1＝0
　　　　
　　　　a＝1のとき
　　　　　　　直線 2x－1＝0
　　　　a≠1のとき、両辺をa²で割って平方完成すると、
　　　　　　　円 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x+\frac{1}{a^2-1}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{a^2-1}\right)^2\end{align*}}$ ････①

　(２)
　　　(１)と同様に考えると、
　　　OP：BP＝1：bを満たす点Pは、b≠1より
　　　　　　　円 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-\frac{1}{b^2-1}\right)^2=\left(\frac{b}{b^2-1}\right)^2\end{align*}}$ ････②　
　　　a＞1＞b＞0なので、
　　　２つの円①、②が共有点をもつためには
　　　　　　　　(半径の差) ≦ (中心間の距離) ≦ (半径の和)
　　　となればよい。各辺を二乗すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \bigg(\frac{a}{|a^2-1|}-\frac{b}{|b^2-1|}\bigg)^2\leqq \left(\frac{1}{a^2-1}\right)^2+\left(\frac{1}{b^2-1}\right)^2 \leqq \bigg(\frac{a}{|a^2-1|}+\frac{b}{|b^2-1|}\bigg)^2\end{align*}}$
　　　左辺と右辺を展開して$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{(a^2-1)^2}\ ,\ \frac{b^2}{(b^2-1)^2}\end{align*}}$を移項
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|} \leqq \frac{1-a^2}{(a^2-1)^2}+\frac{1-b^2}{(b^2-1)^2}\leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
　　　中辺を約分
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|} \leqq -\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{b^2-1}\leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \left| \frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{b^2-1} \right| \leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
　　　両辺に|(a²－1)(b²－1)|をかけると、
　　　　　　　　　|a²＋b²－2|≦2ab
　　　　　　　⇔　－2ab≦a²＋b²－2≦2ab
　　　　　　　⇔　(b＋a)²≧2　かつ　(b－2)²≦2
　　　　　　　これを解くと、ａ、ｂ＞０より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ b\geqq -a+\sqrt2\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ a-\sqrt2 \leqq b\leqq a+\sqrt2\end{align*}}$
　　　これを満たす点(a，b)を図示すると、下図のようになる。

　　　　　　　

　　　境界は、直線a＝1、b＝0、b＝1上の点は含まない。


　　(２)の計算が大変ですね・・・・