2011名古屋大 文系 数学１

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【解答】

　(１)
　　　xで微分すると
　　　　　　　　y’＝3x²－2x＝x(3x－2)　
　　　となるので、増減およびグラフの概形は次のようになる。

　　　

　(２)
　　　以下、点$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ をAとする。
　　　接点の座標を(t，t³－t²)とおくと、接線の方程式は、
　　　　　　　　y－(t³－t²)＝(3t²－2t)(x－t)
　　　　　　⇔　y＝(3t²－2t)x－2t³＋t²　････①
　　　となる。これが、点Aを通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{3}{2}(3t^2-2t)-2t^3+t^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4t^3-11t^2+6t=t(4t-3)(t-2)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=0\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\ 2\end{align*}}$
　　　これら3つの値を①に代入すると、それぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=0\ \ ,\ \ y=\frac{3}{16}x-\frac{9}{32}\ \ ,\ \ y=8x-12\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(３)
　　　点Aを通り、傾きがpの直線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=p\left(x-\frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
　　　と表され、この直線と曲線y＝x³－x²との交点の個数は、
　　　方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
　　　の実数解の個数に等しい。
　　　(２)の結果と右図より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p<0\ \ ,\ \ \frac{3}{16}\lt p<8\end{align*}}$　のとき1個
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=0\ ,\ \frac{3}{16}\ ,\ 8\end{align*}}$　のとき2個
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt p<\frac{3}{16}\ \ ,\ \ 8\lt p\end{align*}}$　のとき3個
　　　となる。



　　グラフをうまく使いましょう。