① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{216}\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{27}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{9}{5}\ ,\ \frac{12}{5}\right)\end{align*}}$　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{4}{3}\ x\end{align*}}$　　　　

　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\ \pi\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}\ \pi\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt 3\leqq a\leqq \sqrt3\end{align*}}$　　　　⑨ n²

　　⑩ 9455　　　　⑪ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$　　　　⑫ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2n+1}\end{align*}}$　　　　⑬ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{263}{315}-\frac{\pi}{4}\end{align*}}$　　
　　


【解説】

　(1)
　　　3つとも3以下の目が出る確率は、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{6}\right)^3=\frac{1}{8}\end{align*}}$ ．　　････①
　　　また、3つとも2以下の目が出る確率は、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{6}\right)^3=\frac{1}{27}\end{align*}}$
　　　なので、最大の目が3になる確率は、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}-\frac{1}{27}=\frac{19}{216}\end{align*}}$ ．　　････②
　　　一方、3つとも3の倍数でない確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^3=\frac{8}{27}\end{align*}}$
　　　なので、3数の積が3の倍数になる確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}\end{align*}}$ 　　････③
　　　となる。

　(2)
　　　点A(0，3)を通り直線y=3xと垂直な直線は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{3}\ x+3\end{align*}}$
　　　であり、これとy=3xの交点Mは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x=-\frac{1}{3}\ x+3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{9}{10}\ ,\ y=\frac{27}{10}\end{align*}}$ ．
　　　y=3xに関してAと対称な点をB(X，Y)とすると、
　　　MがABの中点となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{0+X}{2}\ ,\ \frac{3+Y}{2}\right)=\left(\frac{9}{10}\ ,\ \frac{27}{10}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X\ ,\ Y\right)=\underline{\ \left(\frac{9}{5}\ ,\ \frac{12}{5}\right)\ }\end{align*}}$ ．････④
　　　点O(0，0)は直線y=3x上にあるので、y軸（直線OA）を
　　　y=3xに関して対称に移動させた直線はOBとなる。
　　　よって、求める直線の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OB:\ y=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{9}{5}}\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{4}{3}\ x\ \ }\end{align*}}$　････⑤

　(3)
　　　a=1のとき与式は、
　　　　　　　　　　sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
　　　となり、この等式はcos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0のときは成立しないので、
　　　両辺をcos$\scriptsize\sf{\theta}$ （≠0）で割ると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=-1\end{align*}}$ ．
　　　0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\underline{\ \frac{3}{4}\ \pi\ ,\ \frac{5}{4}\ \pi\ }\end{align*}}$　････⑥、⑦
　　　一方、与式は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+1}\left(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ \sin\theta+\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\ \cos\theta\right)=a^2-1\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\theta+\alpha\right)=\frac{a^2-1}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$　････ア
　　　と変形できる。ただし、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\ ,\ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$
　　　を満たす。
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ なので、
　　　|sin($\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ )|≦1とアより、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{a^2-1}{\sqrt{a^2+1}}\right|\leqq 1\end{align*}}$
　　　両辺を2乗して分母を払うと
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq (a^2-1)^2\leqq a^2+1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-3a^2\leqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq a^2\leqq 3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -\sqrt 3\leqq a\leqq \sqrt3\ }\end{align*}}$　････⑧

　(4)
　　　題意より
　　　　　　　　　　a_n+b_n=n²　････⑨
　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{30}\ (a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{30}\ k^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot 30\cdot(30+1)\cdot(2\cdot 30+1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =9455\end{align*}}$　････⑩

　(5)
　　　n=0のとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 0}\sf =\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　となり、x=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　であり、x：0→1に対して、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta:\ 0\rightarrow\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 0}\sf =\int_0^{\pi /4}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /4}\ d\theta\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\ \theta\ \bigg]_0^{\pi /4}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\end{align*}}$　････⑪
　　　また、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf +\rm I_{\sf n}\sf =\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\ dx+\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\frac{x^{2n}\left(1+x^2\right)}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\ x^{2n}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2n+1}\ x^{2n+1}\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2n+1}\end{align*}}$　････⑫
　　　これより、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf +\rm I_{\sf 0}\sf =1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 2}\sf +\rm I_{\sf 1}\sf =\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 3}\sf +\rm I_{\sf 2}\sf =\frac{1}{5}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 4}\sf +\rm I_{\sf 3}\sf =\frac{1}{7}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 5}\sf +\rm I_{\sf 4}\sf =\frac{1}{9}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\rm I_{\sf 1}\sf +\rm I_{\sf 0}\sf \right)-\left(\rm I_{\sf 2}\sf +\rm I_{\sf 1}\sf \right)+\left(\rm I_{\sf 3}\sf +\rm I_{\sf 2}\sf \right)-\left(\rm I_{\sf 4}\sf +\rm I_{\sf 3}\sf \right)+\left(\rm I_{\sf 5}\sf +\rm I_{\sf 4}\sf \right)=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf 5}\sf +\rm I_{\sf 0}\sf =\frac{263}{315}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf 5}\sf =\underline{\ \frac{263}{315}-\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$　････⑬


　　(5)の最後の処理が少し難しいかもしれません。