ハ －2t　　　　ヒ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$　　　　フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\end{align*}}$　　　　ヘ 7　　　　ホ 0　　　　

　　マ $\scriptsize\sf{\alpha}$ 　　　　ミ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ 　　　　ム 2$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　メ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$　　　　モ 7　　　

　　ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{5}\end{align*}}$　　　　ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　(1)
　　　直線L₂：－2x+y=0の法線ベクトルを $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$とすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}=(-2\ ,\ 1)\end{align*}}$
　　　なので、点P(1，1)を通りL₂に垂直な直線上の点を
　　　Xとすると、実数tを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}=\overrightarrow{\sf OP}+t\ \overrightarrow{\sf n}=\underline{\ (-2t+1\ ,\ t+1)}\end{align*}}$　････ハ
　　　と表すことができる。
　　　このXがL₂上にくるのは
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t+1=2(-2t+1)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\ \frac{1}{5}}\end{align*}}$　････ヒ
　　　のときである。このときのXをX₀とすると、
　　　X₀はPP’の中点になるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP'}=\overrightarrow{\sf OP}+2\overrightarrow{\sf OX_0}=\overrightarrow{\sf OP}+\frac{2}{5}\ \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$
　　　より、P’に対応するtの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ \frac{2}{5}\ }\end{align*}}$　　････フ
　　　である。よって、P’の座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P'\left(-2\cdot\frac{2}{5}+1\ ,\ \frac{2}{5}+1\right)=\left(\frac{1}{5}\ ,\ \frac{7}{5}\right)\end{align*}}$　････①
　　　となる。
　　　原点OはL₁、L₂上にあるので、直線OPをL₂に関して
　　　対称に移動させると、直線OP’に移る。
　　　よって、L₃の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_3:\ y=\frac{\frac{7}{5}}{\frac{1}{5}}\ x=\underline{\ 7x\ }\end{align*}}$　　････ヘホ

　(2)
　　　QとQ’はL₁に関して対称なので、Q’はRを
　　　原点中心に$\scriptsize\sf{\alpha}$ だけ回転移動した点である。
　　　Rをg₂によって移したL₃上の点をR’とすると、
　　　Q”とQ’はL₂に関して対称なので、Q”はR’を
　　　原点中心に－$\scriptsize\sf{\alpha}$ だけ回転移動した点である。
　　　よって、Q→Q’→Q”の移動は、Q→R→R’→Q”
　　　の移動と一致するので、原点を中心とする
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +2$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2$\scriptsize\sf{\theta}$ 　････ム
　　　の回転移動となる。

　　　この移動によってPはP’に移るので、①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \cos2\theta&\sf -\sin2\theta \\ \sf \sin2\theta & \sf \cos2\theta \end{pmatrix}\binom{1}{1}=\frac{1}{5}\binom{1}{7}\end{align*}}$･･･メモ
　　　左辺を計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{\cos2\theta-\sin2\theta}{\cos2\theta+\sin2\theta}=\frac{1}{5}\binom{1}{7}\end{align*}}$
　　　となり、成分を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos2\theta-\sin2\theta=\frac{1}{5}\ \ ,\ \ \cos2\theta+\sin2\theta=\frac{7}{5}\end{align*}}$
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos2\theta=\frac{4}{5}\ \ ,\ \ \sin2\theta=\frac{3}{5}\end{align*}}$
　　　となるので、fを表す行列は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{5}\begin{pmatrix} \sf 4&\sf -3 \\ \sf 3 & \sf 4\end{pmatrix}\ }\end{align*}}$　　････ヤユ
　　　である。



　　(2)は図を描けば分かりやすいと思います。