2010関西学院大 理系（Ａ日程） 数学２

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【解答】

　(1)
　　　第n群には2n個の数が含まれるので、最後の数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+4+6+\ldots+2n=\frac{1}{2}n\left(2+2n\right)=\underline{\ n(n+1)\ }\end{align*}}$
　　　であり、n=10のときは、
　　　　　　　　10×(10+1)=110

　(2)
　　　2010が第p群に属するためには
　　　　　　第p-1群の最後の数＜2010≦第p群の最後の数
　　　となればよいので、(1)より
　　　　　　　　(p－1)p＜2010≦p(p+1)
　　　となる。
　　　　　　　　1980=44×45＜2010＜45×46=2070
　　　なので、
　　　　　　　　p=45 ．
　　　このとき、第p-1群の最後の数は1980なので、
　　　2010は第45群の 2010－1980=30番目となり、
　　　　　　　　q=30
　　　である。

　(3)
　　　(1)より第n-1群の最後の数は (n－1)nなので、
　　　第n群の最初の数は、
　　　　　　　　n²－n+1
　　　となる。
　　　よって、第n群に属する2n個の数の和S_nは　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\cdot 2n\left\{\left(n^2-n+1\right)+n(n+1)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n\left(2n^2+1\right)\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(4)
　　　連続2整数の積は偶数なので、(1)より
　　　各群の最後の数は偶数であり、最初の数は奇数となる。
　　　よって、第n群には偶数・奇数が同数ずつ（n個ずつ）含ま
　　　れることになり、
　　　　　　最小の奇数は、(3)より n²－n+1
　　　　　　最大の奇数は、n²+n－1
　　　なので、第n群の奇数の総和T_nは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\frac{1}{2}\ n \left\{\left(n^2-n+1\right)+\left(n^2+n-1\right)\right\}=\underline{\ n^3\ }\end{align*}}$ ．
　　　これより、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_n}{T_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n\left(2n^2+1\right)}{n^3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(2+\frac{1}{n^2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\ }\end{align*}}$ ．



　　まぁよくありそうな問題ですね。
　　　確実にどうぞ。