ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt3\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$　　　　ウ 1　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$　　

　　カ 126　　　　キ 60　　　　ク 27　　　　ケ 33　　　　コ 33


【解説】

　(1)
　　　倍角公式および加法定理を用いて、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt3\ \sin 2x+4\cdot\frac{1+\cos 2x}{2}-2\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt3\sin 2x+3\cos 2x+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt3\left(\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x\right)+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt3\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{3}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{3}\right)+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sqrt3\sin\left( 2x+\frac{\pi}{3}\right)+1\ }\end{align*}}$　　････アイウ
　　　ここで、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{3}\leqq 2x+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{4\pi}{3}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{\pi}{12}\ }\end{align*}}$　････エ
　　　で最大値をとり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\end{align*}}$　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{\pi}{2}\ }\end{align*}}$　････オ
　　　で最小値をとる。

　(2)
　　　A→Bは、右に4つ、上に5つ動けばよいので、
　　　（以下は、「右4上5」などと表す）
　　　　　　　₉C₄=126通り　　････カ
　　　
　　　A→Pは右1上2、P→Bは右3上3 なので、
　　　Pを通る道順は、
　　　　　　　₃C₁×₆C₃=60通り　　････キ

　　　A→Pは右1上2、P→Qは右2上1、Q→Bは右1上2 なので、
　　　PとQの両方を通る道順は、
　　　　　　　₃C₁×₃C₁×₃C₁=27通り　　････ク

　　　キ、クより
　　　Pを通り、Qを通らない道順は、
　　　　　　　60－27=33通り　　････ケ

　　　Qを通る道順は、
　　　A→Qは右3上3、Q→Bは右1上2 なので、
　　　　　　　₆C₃×₃C₁=60通り
　　　よって、P、Qどちらも通らない道順は、
　　　　　　　126－60－33=33通り　････コ
　　　である。



　　ベン図をかくと分かりやすいと思います。