2011名古屋大 理系数学３

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　　例によって(１)はそんなに難しくないんですよ。
　　でも、(２)の計算が････・



　　(１)
　　　　Ｐ(ｘ，ｙ)とおくと、ＯＰ²：ＡＰ²＝１：ａ²より
　　　　　　ａ²(ｘ²＋ｙ²)＝(ｘ－１)²＋ｙ²
　　　　これを整理すると、
　　　　　　(ａ²－１)ｘ²＋(ａ²－１)ｙ²＋２ｘ－１＝０
　　　　
　　　　ａ＝１のとき
　　　　　　　直線 ２ｘ－１＝０
　　　　ａ≠１のとき、両辺をａ²で割って平方完成すると、
　　　　　　　円 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x+\frac{1}{a^2-1}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{a^2-1}\right)^2\end{align*}}$ ････①


　　(２)
　　　　(１)と同様に考えると、ＯＰ：ＢＰ＝１：ｂを満たす点Ｐは
　　　　ｂ＝１のとき
　　　　　　　直線２ｙ－１＝０
　　　　ｂ≠１のとき
　　　　　　　円 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-\frac{1}{b^2-1}\right)^2=\left(\frac{b}{b^2-1}\right)^2\end{align*}}$ ････②

　　　(ア) ａ＝ｂ＝１のとき
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　となりＯＫ

　　　(イ) ａ＝１、ｂ≠１のとき
　　　　　　　直線２ｘ－１＝０と円②が共有点をもつためには
　　　　　　　　　(円②の中心から直線までの距離) ≦ (円②の半径)
　　　　　　　となればよい。
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\leqq\frac{b}{|b^2-1|}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ -2b\leqq b^2-1\leqq 2b\end{align*}}$
　　　　　　　これを解くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1+\sqrt2\leqq b\lt 1\ ,\ 1\lt b\leqq 1+\sqrt2\end{align*}}$

　　　(ウ) ａ≠１、ｂ＝１のとき
　　　　　　　(イ)と同様に
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1+\sqrt2\leqq a<1\ ,\ 1\lt a \leqq 1+\sqrt2\end{align*}}$

　　　(エ) ａ≠１、ｂ≠１のとき
　　　　　　　２つの円①、②が共有点をもつためには
　　　　　　　　　(半径の差) ≦ (中心間の距離) ≦ (半径の和)
　　　　　　　となればよい。各辺を二乗すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \bigg(\frac{a}{|a^2-1|}-\frac{b}{|b^2-1|}\bigg)^2\leqq \left(\frac{1}{a^2-1}\right)^2+\left(\frac{1}{b^2-1}\right)^2 \leqq \bigg(\frac{a}{|a^2-1|}+\frac{b}{|b^2-1|}\bigg)^2\end{align*}}$
　　　　　　　左辺と右辺を展開して$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{(a^2-1)^2}\ ,\ \frac{b^2}{(b^2-1)^2}\end{align*}}$を移項
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|} \leqq \frac{1-a^2}{(a^2-1)^2}+\frac{1-b^2}{(b^2-1)^2}\leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
　　　　　　　中辺を約分
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|} \leqq -\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{b^2-1}\leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \left| \frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{b^2-1} \right| \leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
　　　　　　　両辺に|(ａ²－１)(ｂ²－１)|をかけると、
　　　　　　　　　|ａ²＋ｂ²－２|≦２ａｂ
　　　　　　　⇔　－２ａｂ≦ａ²＋ｂ²－２≦２ａｂ
　　　　　　　⇔　(ｂ＋ａ)²≧２　かつ　(ｂ－ａ)²≦２
　　　　　　　これを解くと、ａ、ｂ＞０より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ b\geqq -a+\sqrt2\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ a-\sqrt2 \leqq b\leqq a+\sqrt2\end{align*}}$
　

　　　(ア)～(エ)を図示すると、求める領域は下図の水色の部分になる。
　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし、座標軸上の点は除く）