2011名古屋大 理系数学２

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　　うまく整理できないとヤヤコシイですね。



　　ａ、ｂ、ｃ、ｄを自然数とすると、行列Ａ_nには、次の６つのパターンがある。

　　【ア】成分が４つとも０
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　【イ】成分のうち３つだけが０
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　【ウ】成分のうち２つだけが０のもので、逆行列が存在しないもの
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　【エ】成分のうち２つだけが０のもので、逆行列が存在するもの
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　【オ】成分のうち１つだけが０のもの
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　【カ】成分に１つも０がないもの
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　このうちで、逆行列をもたないのは【ア】、【イ】、【ウ】の３つで、
　　【エ】、【オ】は逆行列をもつ。


　　(１)
　　　　Ａ₀は【ア】の形、Ａ₁は必ず【イ】の形になり、ともに逆行列をもたない。
　　　　Ａ₂は【イ】、【ウ】、【エ】の３通りの形が考えられるが、
　　　　このうち逆行列をもつのは【エ】の形のみ。
　　　　【イ】から【エ】になるのは１通りなので、その確率は1/4
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_2=\frac{1\\ \sf 4}\ \ }\end{align*}}$

　　　　Ａ₂が逆行列をもたず、Ａ₃が逆行列をもつのは
　　　　　　Ａ₂が【イ】→Ａ₃が【エ】　または　Ａ₂が【ウ】→Ａ₃が【オ】　
　　　　の２通り。これらを整理したものが下図

　　　　　　

　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ p_3=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\underline{\frac{5}{16} \ \ }\end{align*}}$



　　(２)
　　　　ｎ－１回すべて(１，１)または(１，２)の札を選べばよい。
　　　　ただし、どちらの札も少なくとも１回は選ばれなければならないので、
　　　　次の２つの場合を除く必要がある。
　　　　　・(１，１)の札ばかりｎ－１回選ぶ場合
　　　　　・(１，２)の札ばかりｎ－１回選ぶ場合
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \underline{q_{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-2\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\ \ \ }\end{align*}}$


　　(３)
　　　　Ａ_n-1が逆行列をもたないのは【イ】または【ウ】の形である。
　　　　この状態から、Ａ_nが逆行列をもつためには
　　　　　　　Ａ_n-1が【イ】→Ａ_nが【エ】　または　Ａ_n-1が【ウ】→Ａ_nが【オ】　
　　　　の２通り(下図)。

　　　　　　

　　　　　　Ａ_n-1が【イ】の形になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ 4\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　Ａ_n-1が【ウ】の形になる確率は、４ｑ_n-1

　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ p_{n}=\frac{1}{4}\times4\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+\frac{1}{2}\times 4q_{n-1}\end{align*}}$
　　　 　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ =\underline{2\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}\end{align*}}$