コ logx+1　　　　サ xlogx－x　　　　シ 減少　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　セ 増加　　　　　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x\left(x+\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$　　　　チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1+\sqrt{17}}{4}\end{align*}}$　　　　

【解説】

　(1)
　　　積の微分法を用いると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x\log x\right)'=1\cdot\log x+x\cdot\frac{1}{x}=\underline{\ \log x+1\ }\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\left(x\log x\right)'-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x\log x\right)'-(x)'\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x\log x-x\right)'\end{align*}}$ ．
　　　両辺をxで積分すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\log x\ dx=\underline{\ x\log x-x+C\ \ }\end{align*}}$ ．　　（C：積分定数）

　(2)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ 0\lt x\leqq \frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt x\leqq t\leqq x+\frac{1}{2}\leqq 1\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　f\ (x)=\int_x^{x+\frac{1}{2}}\left(- \log t\ \right)\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[t\log t-t\right]_x^{x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)+x\log x+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　となり、xでこれを微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\log\left(x+\frac{1}{2}\right)-\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}+\log x+x\cdot\frac{1}{x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log x-\log\left(x+\frac{1}{2}\right)<0\end{align*}}$ ．
　　　　よって、f(x)は単調に減少する。
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow +0}\left\{-\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)+x\log x+\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ 1\leqq x\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq x\leqq t\leqq x+\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　f\ (x)=\int_x^{x+\frac{1}{2}} \log t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)-x\log x-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　となり、xでこれを微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\log\left(x+\frac{1}{2}\right)-\log x>0\end{align*}}$ ．
　　　　よって、f(x)は単調に増加する。
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\ \frac{f\ (x)}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left\{\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{\log \left(x+\frac{1}{2}\right)}{\log x}-x-\frac{1}{2\log x}\right\}\end{align*}}$
　　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log \left(x+\frac{1}{2}\right)}{\log x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log x\left(1+\frac{1}{2x}\right)}{\log x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log x+\log\left(1+\frac{1}{2x}\right)}{\log x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log\left(1+\frac{1}{2x}\right)}{\log x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\ \frac{f\ (x)}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left\{\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot 1-x-\frac{1}{2\log x}\right\}=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ \frac{1}{2}\lt x<1\ \ \Leftrightarrow\ \ x<1\lt x+\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　f\ (x)=\int_x^1\left(-\log x\right)\ dt+\int_1^{x+\frac{1}{2}} \log t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[t\log t-t\right]_x^1+\left[t\log t-t\right]_1^{x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)+x\log x-2x+\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　となり、xでこれを微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\log\left(x+\frac{1}{2}\right)+1+\log x+1-2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log x\left(x+\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　　これが0になるとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\left(x+\frac{1}{2}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2+x-2=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\ \ (>0)\end{align*}}$

　　　以上より、f(x)の増減は次のようになる。
　　　　

　　　よって、f(x)が最小になるときのxの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\ \ }\end{align*}}$
　　　である。



　　上から順に丁寧に計算していきましょう。