(1)

　　　ｗ([a，b：c])=p－q－(a+b)=－q すなわち a+b=pのとき

　　　①より、a+b≦a≦pなので、
　　　等号が同時に成立するのは、a=p かつ b=0のときである。

　　　このとき②は、0≦c≦pとなり、これを満たす整数cは、0～pのp+1個

　　　従って、ｗ([a，b：c])=－qを満たす(p，p)パターンは、

　　　　[a，b：c]=[p，0：0]、[p，0：1]、……、[p，0：p]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 の p+1 個


　　　同様に考えると、ｗ([a，b：c])=p－q－(a+b)=pとなるのは、
　　　a=0、b=－p、－p≦c≦0のときであり、これを満たす (p，p)パターンは、
　　　全部でq+1個ある。
　　　
　　(2)
　　　　まず条件より、ｗ([a，b：c])=－p+s　なので、a+b=p－s ……③




　　　座標平面上の点(a，b)を考えると、
　　　　0≦a≦p、－p≦b≦0
　　　なので、点(a，b)は【図1】のグレーの領域（Dとする）
　　　を動く。
　　　
　　　この点を通る傾き－1の直線をLとすると、
　　　切片がa+bの値を表し、【図1】より、
　　　Lの切片は、－p≦a+b≦pなので、
　　　　－p≦p－s≦p すなわち、0≦s≦2p

　　　よって、s＜0または s＜2p のときは、
　　　対応する点(a，b)が領域Dに存在しないので、
　　　題意を満たすパターンは0個。






(ⅰ) 0≦s≦p、すなわち切片が0以上のとき【図2】

　　　領域D内にあるL上の点は、
　　　　(p－s，0)、(p－s+1，－1)、……、(p，－s)
　　　のs+1個あり、
　　　それぞれに対するcの値を考えていくと、
　　　　(a，b)=(p－s,0)のとき、
　　　　　　　0≦c≦p－sより、cはp－s+1個
　　　　(a，b)=(p－s+1,－1) のとき、
　　　　　　－1≦c≦p－s+1より、cはp－s+3個
　　　　　$\scriptsize{\vdots}$
　　　　(a，b)=(p,－s) のとき、
　　　　　　－s≦c≦pより、cはp+s+1個


　　　これらの合計
　　　　(p－s+1)+(p－s+3)+……+(p+s+1)を考える。
　　　これは、初項p－s+1、末項p+s+1、項数s+1の等差数列の和であるから、
　　　　　$\scriptsize{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}(s+1)\left\{(p-s+1)+(p+s+1)\right\}(s+1)=(p+1)(s+1)\end{align*}}$ 個となる。



(ⅱ) p＜s≦2p、すなわち切片が0未満のとき【図3】

　　　領域D内にあるL上の点は、
　　　　　(0,p－s)、(1，p－s－1)、……、(2p－s，－p)
　　　の2p－s+1個あり、
　　　それぞれに対するcの値を考えていくと、
　　　　(a，b)=(0,p－s) のとき、
　　　　　　　p－s≦c≦0より、cは－p+s+1個
　　　　(a，b)=(1,p－s－1) のとき、
　　　　　　p－s－1≦c≦1より、cは－p+s+3個
　　　　　$\scriptsize{\vdots}$
　　　　(a，b)=(2p－s,－p) のとき、
　　　　　　－p≦c≦2p－sより、cは3p－s+1個

　　　これらの合計
　　　　(－p+s+1)+(－p+s+3)+……+(3p－s+1)を考える。
　　　これは、初項－p+s+1、末項3p－s+1、項数2p－s+1の等差数列の和であるから、
　　　
　　　　　$\scriptsize{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}(2p-s+1) \left\{(-p+s+1)+(3p-s+1)\right\}=(p+1)(2p-s+1)\end{align*}}$ 個となる。
　　　
　　　

　　以上より、
　　
　　　　　s＜0、s＜2pのとき、 0個
　　　　　0≦s≦pのとき、(p+1)(s+1)個
　　　　　p＜s≦2pのとき、(p+1)(2p－s+1)個
　　　


(3)
　　(2)で求めた個数をすべて足せばよいので、

　　0≦s≦p のとき、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (p+1)(0+1)+(p+1)(1+1)+\cdots +(p+1)(p+1)\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =(p+1)\left\{1+2+3+\cdots+(p+1)\right\}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =(p+1)\cdot \frac{1}{2}(p+1)\left\{1+(p+1)\right\}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}(p+1)^2(p+2)\end{align*}}$

　　p＜s≦2pのとき、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (p+1)\left\{2p-(p+1)+1\right\}+(p+1)\left\{2p-(p+2)+1\right\}+\cdots +(p+1)\left\{2p-2p+1\right\}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =(p+1)\cdot \frac{1}{2}p(p+1)\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}p(p+1)^2\end{align*}}$

　　よって、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}(p+1)^2(p+2)+\frac{1}{2}p(p+1)^2=\underline{(p+1)^3}\end{align*}}$