第2問
次の問いに答えよ。
(1) 実数a、bがa≧0、b≧0を満たすとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a+b\geqq 2\sqrt{ab}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) 実数x、yがx>y>0と
x6y2-x5y3+x5y5-x4y6≧4
を満たすとき、
x3+y2≧3
が成り立つことを示せ。
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【解答】
(1)
左辺-右辺を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b-2\sqrt{ab}=\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\geqq 0\end{align*}}$
となるので、左辺≧右辺である。
等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt a=\sqrt b\end{align*}}$ すなわち、a=bのときである。
(2)
条件式より
x6y2-x5y3+x5y5-x4y6
=(x3y2-x2y3)(x3-x2y3)
≧4
ここで、x>y>0より
x3y2-x2y3>0 かつ x3-x2y3>0
なので、両辺の平方根をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left(x^3y^2-x^2y^3\right)\left(x^3+x^2y^3\right)}\geqq 2\end{align*}}$ .
これと(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x^3y^2-x^2y^3\right)+\left(x^3+x^2y^3\right)\geqq 2\sqrt{\left(x^3y^2-x^2y^3\right)\left(x^3+x^2y^3\right)}\geqq 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3y^2+x^3=x^3(y^2+1)\geqq 4\end{align*}}$ .
x3>0、y2+1>0なので、両辺の平方根をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x^3(y^2+1)}\geqq 2\end{align*}}$ .
これと(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+(y^2+1)\geqq 2\sqrt{x^3(y^2+1)}\geqq 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3+y^2+1\geqq 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3+y^2\geqq 3\end{align*}}$
(2)は色々と式変形してみて、(1)が使える形を作りましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/12/25(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2012
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