2010京都工芸繊維大 前期 数学４

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【解答】

　(1)
　　　t=1+e^xとおくと、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=e^x=t-1\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{1+e^x}\ dx=\int\frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{t-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}\right)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\left|t-1\right|-\log\left|t\right|+C\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\left|e^x\right|-\log\left|1+e^x\right|+C\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log e^x-\log\left(1+e^x\right)+C\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log \frac{e^x}{1+e^x}+C\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　ただし、Cは積分定数である。

　(2)
　　　xの関数f(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{1+e^x}\ \ \ (0\leqq x\leqq 2)\end{align*}}$
　　　と定義すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}<0\end{align*}}$
　　　となり、f(x)は単調に減少する。
　　　よって、0≦a≦2である実数aに対して
　　　　　　　　0≦x≦aのとき、f(x)－f(a)＞0
　　　　　　　　a≦x≦2のとき、f(x)－f(a)＜0
　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_0^2\left|f\ (x)-f\ (a)\right|\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^a\left(f\ (x)-f\ (a)\right)\ dx+\int_a^2\left(-f\ (x)+f\ (a)\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^a\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a}\right)\ dx+\int_a^2\left(-\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^a}\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\log \frac{e^x}{1+e^x}-\frac{x}{1+e^a}\right]_0^a+\left[-\log \frac{e^x}{1+e^x}+\frac{x}{1+e^a}\right]_a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\log \frac{e^a}{1+e^a}-\frac{a}{1+e^a}\right)-\log\frac{1}{2}-\left(\log \frac{e^2}{1+e^2}-\frac{2}{1+e^a}\right)\end{align*}}$ ．
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\log \frac{e^a}{1+e^a}-\frac{2(a-1)}{1+e^a}-\log\frac{1}{2}-\log \frac{e^2}{1+e^2}\end{align*}}$ ．
　　　aで微分すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(a)=2\left\{\frac{1+e^a}{e^a}\cdot\left(\frac{e^a}{1+e^a}\right)'-\frac{1\cdot(1+e^a)-(a-1)\cdot e^a}{(1+e^a)^2}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left\{\frac{1+e^a}{e^a}\cdot\frac{e^a(1+e^a)-e^a\cdot e^a}{(1+e^a)^2}-\frac{1+2e^a-ae^a}{(1+e^a)^2}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left\{\frac{1}{1+e^a}-\frac{1+2e^a-ae^a}{(1+e^a)^2}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot\frac{(1+e^a)-1-2e^a+ae^a}{(1+e^a)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2(a-1)e^a}{(1+e^a)^2}\end{align*}}$ ．
　　　0≦a≦2の範囲でS(a)の増減を調べると次のようになる。
　　　　　　　
　　　よって、a=1のときS(a)は最小となり、その値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (1)=2\log \frac{e}{1+e}-\log\frac{1}{2}-\log \frac{e^2}{1+e^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\left\{\left(\frac{e}{1+e}\right)^2\cdot 2\cdot\frac{1+e^2}{e^2}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log\frac{2(1+e^2)}{(1+e)^2}\ \ }\end{align*}}$ ．


　　計算が面倒ですが、頑張りましょう！