2010奈良女子大 後期 数学４

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【解答】

　　　　　　　　　x²－4x+2(t²+1)=0　････(※)

　(1)
　　　(※)の判別式Dを考えると、
　　　　　　　　D/4=2²－2(t²+1)
　　　　　　　　　　 =2－2t²
　　　　　　　　　　 =2(1+t)(1－t)．
　　　ここで、－1＜t＜1なので、
　　　　　　　　D/4＞0
　　　となり、(※)は異なる2つの実数解を持つ。
　　　よって、題意は示された。

　(2)
　　　解と係数の関係より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha+\beta=4\ ,\ \ \alpha\beta=2(t^2+1)}$ 　････①
　　　であり、$\scriptsize\sf{\alpha+\beta\ ,\ \ \alpha\beta}$ ともに正となる。
　　　このとき、(1)より$\scriptsize\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ ともに実数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha\gt 0}$ かつ　$\scriptsize\sf{\beta\gt 00}$
　　　となる。
　　　e＞1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf p=e^{\alpha}\gt e^0=1}$
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf \sf q=e^{\beta}\gt e^0=1 }$
　　　となり、題意は示された。

　(3)
　　　$\scriptsize\sf{\sf p=e^{\alpha}}$ および $\scriptsize\sf{\sf q=^{\beta}}$ の両辺の自然対数をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf \log p=\alpha\ ,\ \ \log q=\beta}$ ．
　　　これと①より、
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf \log p+\log q=4}$
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf \log p\cdot\log q=2(t^2+1)}$　････②

　　　与えられたIの底をeに変換すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\frac{\log q}{\log p}+\frac{\log p}{\log q}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\log p)^2+(\log q)^2}{\log p\cdot \log q}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\log p+\log q)^2-2\log p\cdot\log q}{\log p\cdot \log q}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\log p+\log q)^2}{\log p\cdot \log q}-2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4^2}{2(t^2+1)}-2\end{align*}}$　←②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8}{t^2+1}-2\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\lt t<1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq t^2<1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}<\frac{1}{t^2+1}\leqq 1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2<\frac{8}{t^2+1}-2\leqq 6\end{align*}}$
　　　となるので、Iのとり得る値の範囲は、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\lt \rm I\sf \leqq 6\ \ }\end{align*}}$ ．