2010大阪教育大 前期 数学２

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【解答】

　(1)　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 1}\sf =\int_0^{\pi /2}\ \sin x\ dx=\left[-\cos x\right]_0^{\pi /2}=\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　I₂は、倍角公式を用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 2}\sf =\int_0^{\pi /2}\ \sin^2x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 2x}{2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =\frac{\pi}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　I₃は、3倍角の公式
　　　　　　　　　sin3x=3sinx－4sin³x
　　　を用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 3}\sf =\int_0^{\pi /2}\ \sin^3x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /2}\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left[-3\cos x+\frac{1}{3}\cos 3x\right]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の範囲において
　　　　　　　　0≦sinx≦1
　　　なので、
　　　　　　　　sinⁿx≧sinⁿ⁺¹x．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\ \sin^n x\ dx\geqq \int_0^{\pi /2}\ \sin^{n+1} x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n}\sf \geqq \rm I_{\sf n+1}\sf \end{align*}}$ ．

　(3)
　　　部分積分法を用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\ \sin^{n+2}x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\cos x\sin^{n+1}x\right]_0^{\pi /2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\cdot(n+1)\sin^n x\cdot \cos x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^2x\sin^nx\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)\int_0^{\pi/2}(1-\sin^2x)\sin^nx\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin^nx\ dx-(n+1)\int_0^{\pi /2}\sin^{n+2}x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n+2}\sf =(n+1)\rm I_{\sf n}\sf -(n+1)\rm I_{\sf n+2}\sf \end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n+2}\sf =\frac{n+1}{n+2}\ \rm I_{\sf n}\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　任意のｎに対して、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の範囲において
　　　　　　　　0≦sinⁿx
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\pi /2}\sin^n x\ dx>0\end{align*}}$ ．
　　　また、(2)より、
　　　　　　　　I_2n+2≦I_2n+1≦I_2n
　　　であり、両辺をI_2n（＞0）で割ると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\rm I_{\sf 2n+2}}{\rm I_{\sf 2n}}\leqq \frac{\rm I_{\sf 2n+1}}\rm {I_{\sf 2n}}\leqq 1\end{align*}}$ ．
　　　ここで、(3)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 2n+2}\sf =\frac{2n+1}{2n+2}\ \rm I_{\sf 2n} \end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\rm I_{\sf 2n+2}}{\rm I_{\sf 2n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{2n+1}{2n+2}=1\end{align*}}$ ．
　　　よって、はさみうちの原理より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\rm I_{\sf 2n+1}}{\rm I_{\sf 2n}}=\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$ ．



　　(4)で、Ｉ_nの一般項を求めることはできますが、
　　そのあとの極限を求めるところで行き詰まってしまいます。　
　　というわけで、(2)、(2)の結果を用いて、はさみうちです！