2010大阪教育大 前期 数学１

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【解答】

　(1)
　　　xy平面上において、右図のように
　　　O(0，0)、A(1，0)とおいても一般性を失わない。　
　　　このとき、題意より点B、Cの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C\left(\cos\frac{\pi}{2}\ ,\ \sin\frac{\pi}{2}\right)=(0\ ,\ 1)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(\cos\frac{\pi}{6}\ ,\ \sin\frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{2}\ (1\ ,\ 0)+\frac{1}{2}\ (0\ ,\ 1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt3}{2}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf c}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　(1)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\left|1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right|=\underline{\ \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OBC=\frac{1}{2}\left|0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right|=\underline{\ \frac{\sqrt3}{4}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(1)で定めたxy平面において、
　　　直線ACおよびOBの式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC:\ y=-x+1\ \ ,\ \ OB:\ y=\frac{x}{\sqrt3}\end{align*}}$
　　　となるので、これらの交点Dの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(\frac{\sqrt3}{1+\sqrt3}\ ,\ \frac{1}{1+\sqrt3}\right)\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf d}\right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{1+\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{1}{1+\sqrt3}\right)^2}=\underline{\ \frac{2}{1+\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　また、Bを通り、直線ACに平行な直線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{2}=-\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
　　　であり、これと直線OA(x軸)との交点Eの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(\frac{1+\sqrt3}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf e}\right|=\underline{\ \frac{1+\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　点Pの座標を(X，Y)とおくと、 (3)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (X\ ,\ Y)=s\ \left(\frac{1+\sqrt3}{2}\ ,\ 0\right)+t\ (0\ ,\ 1)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{2X}{1+\sqrt3}\ \ ,\ \ t=Y\end{align*}}$ ．
　　　これより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ X\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ Y\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq s+t\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq \frac{2X}{1+\sqrt3}+Y\leqq 2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{2X}{1+\sqrt3}+1\leqq Y\leqq -\frac{2X}{1+\sqrt3}+2\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C'\left(0\ ,\ 2\right)\ \ ,\ \ E'\left(1+\sqrt3\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、求める領域の面積Sは、
　　　　　　　　△OC'E'－△OCE
　　　として求めることができるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot\left(1+\sqrt3\right)\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot 1\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3\left(1+\sqrt3\right)}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　座標をおくと楽です。