2010関西学院大 理系（Ｆ日程） 数学２

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【解答】

　(1)　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=(2\ ,\ 1\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=(1\ ,\ 2\ ,\ -1)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2\cdot1+1\cdot 2+0\cdot (-1)=\underline{\ 4\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^22^2+1^2+0=5\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=1^2+2^2+(-1)^2=6\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 6-4^2}=\underline{\ \frac{\sqrt{14}}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　点Hは平面OAB上にあるので、実数s、tを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\ \overrightarrow{\sf OA}+t\ \overrightarrow{\sf OB}=(2s+t\ ,\ s+2t\ ,\ -t)\end{align*}}$ ････①
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CH}=\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OC}=(2s+t-1\ ,\ s+2t+1\ ,\ -t+2)\end{align*}}$ ．
　　　平面OAB⊥CHなので、　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf CH}=2(2s+t-1)+(s+2t+1)=5s+4t-1=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf CH}=(2s+t-1)+2(s+2t+1)-(-t+2)=4s+6t-1=0\end{align*}}$ ．
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{7}\ \ ,\ \ t=\frac{1}{14}\end{align*}}$
　　　となるので、①に代入して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(\frac{5}{14}\ ,\ \frac{2}{7}\ ,\ -\frac{1}{14}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　AD:BD=u:1-u、OH:HD=v:1-v とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=v\ \overrightarrow{\sf OD}=(1-u)v\ \overrightarrow{\sf OA}+uv\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ．
　　　一方、(1)で求めたs、tを①に代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\frac{1}{7}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{14}\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
　　　となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ は一次独立なので、
　　　係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v-uv=\frac{1}{7}\ \ ,\ \ uv=\frac{1}{14}\end{align*}}$ ．
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ v=\frac{3}{14}\end{align*}}$　････②
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AD:BD=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\underline{\ 1:2\ \ }\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　③より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH:HD=\frac{3}{14}:\frac{11}{14}=3:11\end{align*}}$
　　　となるので、これと(3)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ADH=\frac{11}{14}\triangle OAD=\frac{11}{14}\cdot\frac{1}{3}\triangle OAB\end{align*}}$ ．
　　　これに、(1)で求めた△OABを代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ADH=\frac{11}{14}\cdot\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{14}}{2}=\underline{\ \frac{11\sqrt{14}}{84}\ \ }\end{align*}}$