① -1　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{5}\end{align*}}$　　　　③ -1，3，5　　　　④ 10　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　

　　⑥ 216　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}\ ,\ \frac{5\pi}{12}\ ,\ \frac{\pi}{2}\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　解と係数の関係より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =3、　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =5．
　　　これより、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\ \beta=\underline{\ -1\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha ^2+\beta ^2}{\alpha\ \beta}=\underline{\ -\frac{1}{5}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　平行四辺形の対角線のはそれぞれの中点で交わるので、
　　　A(x，y)とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1+2}{2}\ ,\ \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{x+3}{2}\ ,\ \frac{y+1}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ (x\ ,\ y)=(0\ ,\ 5)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2+3}{2}\ ,\ \frac{4+1}{2}\right)=\left(\frac{x+1}{2}\ ,\ \frac{y+2}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ (x\ ,\ y)=(4\ ,\ 3)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3+1}{2}\ ,\ \frac{1+2}{2}\right)=\left(\frac{x+2}{2}\ ,\ \frac{y+4}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ (x\ ,\ y)=(2\ ,\ -1)\end{align*}}$　
　　　の3つの場合が考えられる。
　　　よって、Aのy座標は、－1、3，5 ．

　(3)
　　　(x+y+1)ⁿの展開式の一般項は、
　　　p+q+r+=ｎを満たす0以上の整数p、q、rを用いて
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\ !}{p\ !\ q\ !\ r\ !}\ x^p\ y^q\ 1^r\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　いま、xyの項の係数が90なので、
　　　　　　　　　　p=q=1、r=ｎ－2
　　　とすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\ !}{(n-2)\ !}=n(n-1)=90\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ n=10\ \ }\ (>0)\end{align*}}$ .


　(4)
　　　(ⅰ) －1＜x＜1のとき
　　　　　　x→∞のときxⁿ→0となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{0}{0+0+1}=0\end{align*}}$
　　　(ⅱ) x=1のとき
　　　　　　任意のｎに対して xⁿ=1なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　(ⅲ) 1＜xのとき
　　　　　　x→∞のときxⁿ→+∞となるので、
　　　　　　与式の分子・分母をxⁿで割ると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^n}}=\frac{1}{x^2+1}\end{align*}}$

　　　これらより、ｆ(x)はx=1において不連続であり、
　　　ｆ(1)と等しい値をとるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}=\frac{1}{x^2+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\sqrt2\ \ (>1)\ \ }\end{align*}}$
　　　のときである。

　(5)
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\alpha+2\right)^2=\left(3+\sqrt3\ i\right)^2=6+6\sqrt3\ i\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(\alpha +2)^6}{\alpha^3}=\left\{\frac{\left(\alpha+2\right)^2}{\alpha}\right\}^3=\left(\frac{6+6\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}\right)^3=6^3=\underline{\ 216\ \ }\end{align*}}$ ．

　(6)
　　　和→積の公式を用いると、与式は
　　　　　　　　　　2sin2x cosx=cosx
　　　　　　　　⇔　cosx(2sin2x－1)=0
　　　　　　　　⇔　cosx=0　または　2sin2x=1
　　　と変形できる。0＜x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
　　　これを満たすxの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ 2x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5\pi}{6}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{\pi}{12}\ ,\ \frac{5\pi}{12}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．