2010関西大 理系数学（２月１日） ３

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【解答】

　(1)
　　　ｅ^-x＞a となるとき、
　　　a＞0なので、両辺の自然対数が定義でき、　

　　　　　　－x＞loga　⇔　x＜－loga
　　　となるので、
　　　　　　x＜－logaのとき、y=ｅ^-x－a
　　　　　　－loga≦xのとき、y=－ｅ^-x+a
　　　また、
　　　　　　ｅ^-1＜a＜1　⇔　0＜－loga＜1
　　　なので、グラフの概形は右図のようになる。



　(2)
　　　(ⅰ) a≦0のとき
　　　　　　　xの値によらず常に
　　　　　　　　　ｅ^-x－a＞0
　　　　　　　となるので、
　　　　　　　グラフは右図1のようになる。
　　　　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=\int_0^1\left(e^{-x}-a\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-e^{-x}-ax\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a+1-e^{-1}\end{align*}}$

　　　以下、0＜aのaに対して
　　　　　　　　p=－loga　････①
　　　とおく。

　　　(ⅱ) 0＜a＜ｅ^-1のとき、
　　　　　　　1＜pなので、y=|ｅ^-x－a| の
　　　　　　　グラフは右図2のようになる。
　　　　　　　よって、(ⅰ)と同様に
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=\int_0^1\left(e^{-x}-a\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a+1-e^{-1}\end{align*}}$

　　　(ⅲ) ｅ^-1≦a≦1のとき、
　　　　　　　0≦p≦1なので、y=|ｅ^-x－a| の
　　　　　　　グラフは右図3のようになる。
　　　　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=\int_0^p\left(e^{-x}-a\right)\ dx+\int_p^1\left(-e^{-x}+a\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-e^{-x}-ax\right]_0^p+\left[e^{-x}+ax\right]_p^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2e^{-p}-2ap+1+e^{-1}+a\end{align*}}$
　　　　　　　これと①より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=2a\log a-a+1+e^{-1}\end{align*}}$

　　　(ⅳ) a＞1のとき、
　　　　　　　p＜0なので、y=|ｅ^-x－a| の
　　　　　　　グラフは右図4のようになる。
　　　　　　　よって、(ⅰ)と同様にして
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=\int_0^1\left(-e^{-x}+a\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a-1+e^{-1}\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　　a＜ｅ^-1のとき
　　　　　　　　　　　　　　ｆ(a)=－a+1－ｅ^-1
　　　　　　　　ｅ^-1≦a≦1のとき
　　　　　　　　　　　　　　ｆ(a)=2aloga－a+1+ｅ^-1
　　　　　　　　1＜aのとき
　　　　　　　　　　　　　　ｆ(a)=a－1+ｅ^-1

　(3)
　　　a＜ｅ^-1のとき、ｆ(a)は単調減少なので、最小値なし。
　　　1＜aのとき、ｆ(a)は単調増加なので、最小値なし。
　　　ｅ^-1≦a≦1のとき、ｆ(a)の導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=2\log a+2a\cdot\frac{1}{a}-1=2\log a+1 \end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \log a=-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{\sqrt{e}}\end{align*}}$
　　　なので、増減表は次のようになる。
　　　　　

　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{\sqrt{e}}\end{align*}}$
　　　のとき、ｆ(a)は最小となり、その値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=\underline{\ \frac{1}{e}-\frac{2}{\sqrt{e}}+1\ \ }\end{align*}}$
　　　である。



　　丁寧に場合分けしましょう。