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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010関西大 理系数学(2月1日) 2



第2問

  平面上の四角形OABCについて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=1\ \ ,\ \ OC=\frac{\sqrt7}{3}\end{align*}}$
  および、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
  が成り立っているとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
  とおく。次の    をうめよ。

   CB= ①  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ = ②  であり、∠AOBは ③  度である。
  t>0とし、直線OA上に点Dを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=t\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ となるようにとる。このとき、
  線分OBと線分CDとの交点をPとおくと、tを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\end{align*}}$  ④  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
  と書ける。
   △OPDの重心Gが△OABの内部または周上にあるようなtの値の
  範囲は、0<t≦ ⑤  である。また、△OPDの外心をRとおくと、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ - ⑥  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ が垂直であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ - ⑥  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ も垂直で
  あることから、$\small\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ = ⑦  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ +  ⑧  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ であり、
  |$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$|= ⑨  である。



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