2011同志社大 生命医科学部 数学４

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【解答】

　(1)
　　　部分積分法により　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf =\int_1^e\ 1\cdot\log x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x\ \log x\right]_1^e-\int_1^ex\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e\log e-\log1-(e-1)\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　部分積分法により
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf =\int_1^e1\cdot\left(\log x\right)^{n+1}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x\left(\log x\right)^{n+1}\right]_1^e-\int_1^ex\cdot(n+1)(\log x)^n\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e(\log e)^{n+1}-(\log 1)^{n+1}-(n+1)\int_1^e\left(\log x\right)^n\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-(n+1)\ \rm I_{\sf n}\sf +e\end{align*}}$
　　　となり、題意は示された。
　　　これと(1)より、
　　　　　　　　Ｉ₂=－2Ｉ₁+ｅ
　　　　　　　　　 =ｅ－2．
　　　さらに、
　　　　　　　　Ｉ₃=－3Ｉ₂+ｅ
　　　　　　　　　 =－3(ｅ－2)+ｅ
　　　　　　　　　 =－2ｅ+6．

　(3)
　　　logxをxで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\log x\right)'=\frac{1}{x}>0\end{align*}}$
　　　となり、logxは単調に増加する。
　　　よって、1≦x≦ｅの範囲では、
　　　　　　　x=ｅで最大値 logｅ=1
　　　　　　　x=1で最小値 log1=0
　　　となる。
　　　このことから、1≦x≦ｅの範囲でつねに
　　　　　　　　0≦logx≦1
　　　　　　⇔　0≦(logx)ⁿ≦1
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_1^e\left(\log x\right)^ndx<\int_1^e dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt \rm I_{\sf n}\sf <\left[\ x\ \right]_1^e\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt \rm I_{\sf n}\sf \lt e-1\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　(1)より、
　　　　　　　　Ｉ₁=a₁ｅ+b₁=1　⇔　a₁=0、　b₁=1．
　　　(2)より、
　　　　　　　　Ｉ₂=a₂ｅ+b₂=ｅ－2　⇔　a₂=1、　b₂=－2
　　　　　　　　Ｉ₃=a₃ｅ+b₃=－2ｅ+6　⇔　a₃=－2、　b₃=6．

　　　また、(2)で示した等式は、
　　　　　　　　a_n+1ｅ+b_n+1=－(ｎ+1)(a_nｅ+b_n)+ｅ
　　　　　　　　　　　　　　　　 ={－(ｎ+1)a_n+1}ｅ－(ｎ+1)b_n
　　　となるので、係数を比較すると、
　　　　　　　　a_n+1=－(ｎ+1)a_n+1　････①
　　　　　　　　b_n+1=－(ｎ+1)b_n　････②
　　　である。
　　　②は任意のｎに対して成り立つので、
　　　　　　　　b₂=－2b₁
　　　　　　　　b₃=－3b₂
　　　　　　　　b₄=－4b₃
　　　　　　　　　 ･･･
　　　　　　 b_n-1=－(ｎ－1)b_n-2
　　　　　　　　b_n=－ｎb_n-1
　　　となり、これらを辺々かけると、
　　　　　　　　b_n=(－1)^n-1ｎ(ｎ－1)・･･･・4・3・2・b₁
　　　　　　⇔　b_n=(－1)^n-1･ｎ！
　　　を得る。

　(5)
　　　(4)より、b_n≠0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =a_n\ e+b_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_n}{b_n}=\frac{I_n}{b_n\ e}-\frac{1}{e}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_n}{b_n}=\frac{I_n}{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}-\frac{1}{e}\end{align*}}$　･･･③
　　　ここで、(3)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<|\rm I_{\sf n}\sf |\lt e-1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\left|\frac{I_n}{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}\right|<\frac{e-1}{|(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e|}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\left|\frac{I_n}{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}\right|<\frac{e-1}{ n\ !\cdot e}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\frac{e-1}{ n\ !\cdot e}\right|=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{e-1}{ n\ !\cdot e}=0\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\frac{\rm I_{\sf n}\sf }{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}\right|=0\end{align*}}$ ．
　　　これと③より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{a_n}{b_n}=\underline{\ -\frac{1}{e}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　(5)は、(4)までの結論をうまく使いましょう。
　　{a_n}の一般項を求めようとすると、泥沼にはまります(笑)