2011同志社大 生命医科学部 数学３

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【解答】

　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos kx\ dx=\left[\frac{1}{k}\ \sin kx\right]_0^{\pi}=\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　半角公式を用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos^2 kx\ dx=\int_0^{\pi}\ \frac{1+\cos 2kx}{2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2k}\ \sin 2kx\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　積→和の公式を用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos jx\ \cos kx\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\ \left\{\cos (j+k)x\ +\cos (j-k)x\right\} dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{j+k}\ \sin (j+k)x\ +\ \frac{1}{j-k}\ \sin (j-k)x\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　ｎ=1，2，3，･･･に対して、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^n\ k\cos kx\right)^2 dx\end{align*}}$
　　　とおく。
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_1=\int_0^{\pi}\left(1+\cos x\right)^2 dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x+2\cos x\right) dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x\right) dx\end{align*}}$　←(1)より
　 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi+\frac{\pi}{2}+0\end{align*}}$　←(2)より
　 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_2=\int_0^{\pi}\left(1+\cos x+2\cos 2x\right)^2 dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left\{1+\cos^2 x+4\cos^2 2x+2\left(\cos x+2\cos 2x+2\cos x\cos 2x\right)\right\} dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x+4\cos^2 2x\right) dx\end{align*}}$　←(1)、(3)より
　 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi+(1+4)\cdot \frac{\pi}{2}\end{align*}}$　　←(2)より
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7\pi}{2}\end{align*}}$

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_3=\int_0^{\pi}\left(1+\cos x+2\cos 2x+3\cos 3x\right)^2 dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x+4\cos^2 2x+9\cos^2 3x\right) dx\end{align*}}$　←(1)、(3)より
　 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi+(1+4+9)\cdot\frac{\pi}{2}\end{align*}}$　　←(2)より
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =8\pi\end{align*}}$

　　　これらより、J_nの一般項は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf JI_n=\pi+(1+2^2+3^2+\ldots+ n^2)\cdot\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ n(n+1)(2n+1)\right\}\ \pi\end{align*}}$
　　　と類推することができる。
　　　このことを数学的帰納法で示す。

　　　(ⅰ) ｎ=1のときは自明
　　　(ⅱ) ｎ=ｍのとき成立すると仮定すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_m=\left\{1+\frac{1}{12}\ m(m+1)(2m+1)\right\}\ \pi\end{align*}}$　･･･①
　　　　　 ｎ=ｍ+1のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m+1}=\int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^{m+1}\ k\cos kx\right)^2 dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left\{\left(1+\sum_{k=1}^{m}\ k\cos kx\right)+(m+1)\cos(m+1)x\right\}^2 dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^{m}\ k\cos kx\right)^2dx+\int_0^{\pi}(m+1)^2\cos^2(m+1)x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +2(m+1)^2\int_0^{\pi}\cos(m+1)x\ \left(1+\sum_{k=1}^{m}\ k\cos kx\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =J_m+(m+1)^2\cdot\frac{\pi}{2}+0\end{align*}}$　←(1)、(2)、(3)より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ m(m+1)(2m+1)+\frac{(m+1)^2}{2}\right\}\ \pi\end{align*}}$　←①より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ \left(m(m+1)(2m+1)+6(m+1)^2\right)\right\}\ \pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ (m+1)(m+2)(2m+3)\right\}\ \pi\end{align*}}$
　　　　　　となるので、ｎ=ｍ+1のときも成り立つ。
　　　以上より、任意のｎに対して
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\left\{1+\frac{1}{12}\ n(n+1)(2n+1)\right\}\ \pi\end{align*}}$
　　　である。



　　(1)、(2)、(3)を有効に使いましょう。