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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010京都薬科大 数学4



第4問

  1から10までの数が、同様に確からしく出るルーレットがある。いま、
  ルーレットを回し、1から4までの数が出るとコインを1枚もらい、5から
  10までの数が出るとコインを1枚失うゲームを繰り返し行う。
  Nを2以上の定数として、コインの枚数がN枚になるか、または、コイン
  がすべてなくなれば、ゲームを終了する。
  最初にコインをk枚持ってゲームを始め、コインがN枚になってゲームを
  終了する確率をPkとして、次の    にあてはまる数または式を解答
  欄に記入せよ。
 
 (1) Pkの定義より、P0= ア  、PN= イ  である。

 (2) kを1≦k≦N-1として、Pk-1、Pk、Pk+1の間に成り立つ関係式は
     ウ  となる。

 (3) Pk-Pk-1をP0とP1およびkを用いて表すと、
       Pk-Pk-1= エ  (P1-P0)
    となる。
    さらに、この漸化式を解き、PkをP0、P1およびkを用いて表すと、
       Pk=P0+ オ  (P1-P0) ・・・・(A)
    となる。

 (4) 式(A)はk=0およびk=Nのときも成り立つので、設問(1)の結果を
    使って、PkをkおよびNを用いて表すと、Pk= カ  となる。

 (5) Nを偶数として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{2}\end{align*}}$ 枚コインを持ってゲームを始める。コインがN枚に
    なってゲームを終了する確率が10001分の1以下になるのは、Nが
     キ  枚以上のときである。
    必要であれば、log102=0.3010、log103=0.4771を用いよ。



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