ア 0　　　　イ 1　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k=\frac{2}{5}\ P_{k+1}+\frac{3}{5}\ P_{k-1}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1\right\}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1}\end{align*}}$　　　　キ 46

【解説】

　(1)
　　　コインがすべてなくなればゲームは終了するので、P₀=0．　
　　　また、コインがＮ枚になればゲームは終了するので、P_N=1．

　(2)
　　　最初にｋ枚（1≦ｋ≦Ｎ－1）持っている状態から、
　　　Ｎ枚になって終了するには、次の2つの場合が考えられる。
　　　(ⅰ) 1回目1～4が出て、ｋ+1枚になった状態からＮ枚になる場合。
　　　　　　この確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\ P_{k+1}\ .\end{align*}}$
　　　(ⅱ) 1回目5～10が出て、ｋ－1枚になった状態からＮ枚になる場合。
　　　　　　この確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\ P_{k-1}\ .\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_k=\frac{2}{5}\ P_{k+1}+\frac{3}{5}\ P_{k-1}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　特性方程式
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{5}\ t^2+\frac{3}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ , \ \frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　を用いると、(2)の関係式は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{k+1}-P_k=\frac{3}{2}\left(P_k-P_{k-1}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できるので、
　　　数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{P_k-P_{k-1}\right\}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ の等比数列となる。
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_k-P_{k-1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}(P_1-P_0)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　この式は、ｋ=1，2，･･･，ｋについて成立するので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1-P_{0}=\left(\frac{3}{2}\right)^{0}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2-P_{1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{1}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3-P_{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　･･･
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{k-1}-P_{k-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-2}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k-P_{k-1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　これらを辺々加えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k-P_0=\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{0}+\left(\frac{3}{2}\right)^{1}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\ldots +\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}\right\}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_k=P_0+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1}{\frac{3}{2}-1}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ P_k=P_0+2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1\right\}(P_1-P_0)\ \ }\ \ \ldots \ldots\ (A)\end{align*}}$

　(4)
　　　(A)にｋ=Ｎを代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_N=P_0+2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}(P_1-P_0)\end{align*}}$
　　　であり、(1)より P₀=0、P_N=1なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=0+2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}(P_1-0)\ \ \Leftrightarrow\ \ P_1=\frac{1}{2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}}\end{align*}}$ ．
　　　これを(A)に代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k=2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1\right\}\cdot\frac{1}{2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}}=\underline{\ \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1}\ \ }\end{align*}}$
　　　が得られる。

　(5)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{N}{2}\end{align*}}$ 枚のコインから始めるとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{\frac{N}{2}}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}-1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1}=\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}+1}\end{align*}}$
　　　であり、これが10001分の1以下なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}+1}\leqq \frac{1}{10001}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}+1\geqq 10001\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}\geqq 10000\end{align*}}$ ．
　　　両辺＞0より、常用対数をとると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lg_{10}\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}\geqq \log_{10}10000\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{N}{2}\log_{10}\frac{3}{2}\geqq 4\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ N\left(\log_{10}3-\log_{10}2\right)\geqq 8\end{align*}}$ .
　　　これに与えられた数値を代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (0.4771-0.3010)\ N\geqq 8\ \ \Leftrightarrow\ \ n\geqq 45.4\ldots\end{align*}}$
　　　これを満たす最小の偶数Ｎは、46 なので、
　　　Ｎが46枚以上のとき、題意を満たすことになる。


　　(2)に気づくかが勝負の分かれ目です！