ア ｔ－1　　　　イ ｔ　　　　ウ ｔ+1　　　　エ －2ｔ+2　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\ t-1\end{align*}}$　　　　

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\ t^2-\frac{3}{2}\ t+1\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{4}\end{align*}}$　　　　

　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{9}{2}\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{2}\end{align*}}$　　　　ス 1　　　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{4}\end{align*}}$　　　　ソ 1

【解説】

　　　直線AB、BQの方程式はそれぞれ、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-1=\frac{t^2-1}{t-(-1)}\ \left\{x-(-1)\right\}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=(t-1)\ x+t\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-4=\frac{(t-1)^2-4}{(t-1)-2}\ (x-2)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=(t+1)\ x-2t+2\ \ }\end{align*}}$
　　　であり、これら2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (t-1)x+t=(t+1)x-2t+2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{3}{2}t-1\end{align*}}$　････①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=(t-1)\cdot\left(\frac{3}{2}t-1\right)+t=\frac{3}{2}t^2-\frac{3}{2}t + 1\end{align*}}$ ････②
　　　となるので、2直線AP、BQの交点Rの座標は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\ \left(\frac{3}{2}t-1\ ,\ \frac{3}{2}t^2-\frac{3}{2}t + 1\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　①は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{3}\ x+\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　と変形でき、これを②に代入してｔを消去すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\ x+\frac{2}{3}\right)^2-\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\ x+\frac{2}{3}\right)+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\ x^2+\frac{1}{3}\ x+\frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．････③
　　　これが点Rの軌跡である（放物線C）。

　　　Rのx座標をpとすると、求める面積Sは、　　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-1}^p\left\{(t-1)x+t-x^2\right\}\ dx+\int_p^2\left\{(t+1)x-2t+2-x^2\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　で求めることができ、これを計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-p^2+(3t-2)p-\frac{3}{2}t+\frac{7}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(\frac{3}{2}t-1\right)^2+(3t-2)\left(\frac{3}{2}t-1\right)-\frac{3}{2}t+\frac{7}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{9}{4}\ t^2-\frac{9}{2}\ t+\frac{9}{2}\ \ }\end{align*}}$
　　　となる。この式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{9}{4}(t-1)^2+\frac{9}{4}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、0＜ｔ＜2の範囲では、
　　　ｔ=1のときに最小値をとり、その値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\underline{\ \frac{9}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　放物線Cをy=ｆ(x)とおくと、③より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{2}{3}\ x^2+\frac{1}{3}\ x+\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　となり、Rにおける接線の傾きｍは、①より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=f\ '(p)=\frac{4}{3}\ p+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\left(\frac{3}{2}t-1\right)+\frac{1}{3}\end{align*}}$ ．
　　　ｔ=1なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$　．


　　積分計算が面倒だったので、途中を省略しましたｗｗ