2011関西学院大 理系（個別日程） 数学４

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【解答】

　(1)
　　　一般角で考えると、方程式の解は、
　　　　　　　　x=±$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ +2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ 　（ｎ：整数）
　　　となり、このうちで $\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ を満たすものは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{5}{4}\ \pi\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　一般角で考えると、方程式の解は、
　　　　　　　　x=±$\scriptsize\sf{\theta}$ +2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ 　（ｎ：整数）
　　　となり、このうちで 0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ を満たすものは、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ であることを考慮に入れると、
　　　　　　　　x=$\scriptsize\sf{\theta}$ 、2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ ．

　(3)
　　　(2)において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　となるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ ････① であり、
　　　　　　　　0≦x≦$\scriptsize\sf{\theta}$ のとき、cosx≧cos$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ のとき、cosx≦cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\theta}\left(\cos x-\cos\theta\right)\ dx+\int_{\theta}^{\alpha}\left(\cos\theta-\cos x\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\sin x-x\cos\theta\right]_0^{\theta}+\left[x\cos\theta-\sin x\right]_{\theta}^{\alpha}\end{align*}}$
　　　これを計算すると、
　　　　　　　　S=2(sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )+$\scriptsize\sf{\alpha}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin$\scriptsize\sf{\alpha}$
　　　となり、①より
　　　　　　　　sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ =sin(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ )=－sin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　なので、
　　　　　　　S=2(sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )+(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +sin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　=3sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －3$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$

　(3)
　　　Sを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
　　　　　　　S’=3cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －3cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －3$\scriptsize\sf{\theta}$ )･(－sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )
　　　　　　　　　=(3$\scriptsize\sf{\theta}$ －2$\scriptsize\sf{\pi}$ )sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
　　　これより、Sの増減を調べると、下のようになる。
　　　　　
　　　
　　　よって、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、Sは最小値
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sin\frac{2}{3}\pi=\underline{\ \frac{3\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$
　　　をとる。



　　(1)、(2)は、定義通り単位円で考えると分かりやすいと思います。