2011関西学院大 理系（個別日程） 数学２

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　まず、Gは△ＯACの重心なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OO}+\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}}{3}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　また、PおよびQの位置ベクトルはそれぞれ、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf c}}{3} \ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ．
　　　3点Ｏ、P、Rは一直線上にあるので、実数ｋを用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=k\overrightarrow{\sf OP}=\frac{k}{3}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$　････①
　　　さらに、BR：QR=s：1－sとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=(1-s)\overrightarrow{\sf OB}+s\overrightarrow{\sf OQ}=(1-s)\overrightarrow{\sf b}+\frac{s}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$　････②
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、①、②の係数を比較すると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{3}=1-s\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2k}{3}=\frac{s}{2}\end{align*}}$
　　　となり、これらを同時に満たすｋおよびsの値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{3}{5}\ \ ,\ \ s=\frac{4}{5}\end{align*}}$　．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\underline{\ \frac{1}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2=\underline{\ x^2\ \ }\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot x\cdot\cos 60^{\circ}=\underline{\ \frac{x}{2}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　題意より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|^2=|\overrightarrow{\sf b}|^2=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．････③
　　　(1)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BG}=\overrightarrow{\sf OG}-\overrightarrow{\sf OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=\overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OA}=-\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　であり、これらの内積が0であればよいので、
　　　(2)および③を用いて計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BG}\cdot\overrightarrow{\sf AR}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3}|\overrightarrow{\sf a}|^2-\frac{1}{5}|\overrightarrow{\sf b}|^2+\frac{2}{15}|\overrightarrow{\sf c}|^2+\frac{16}{15}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{2}{15}x^2+\frac{8}{15}-\frac{1}{6}x-\frac{1}{10}x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{15}x^2-\frac{4}{15}x=0\end{align*}}$ ．
　　　x＞0なので、x=2 ．


　　図は省略していますが、大丈夫ですか？