2011関西学院大 理系（全学部日程） 数学４

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【解答】

　(1)
　　　積の微分の公式を用いると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-2x^{-3}\log x+x^{-2}\cdot\frac{1}{x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1-2\log x}{x^3}\ \ }\end{align*}}$　．


　(2)
　　　(1)より、ｆ’(x)=0となるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-2\log x=2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt e\end{align*}}$
　　　のときなので、x＞0の範囲で増減表を書くと下の通り。
　　　　　　

　　　これより、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt e\end{align*}}$ で極大値
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\sqrt e)=e^{-1}\cdot\log \sqrt e=\underline{\ \frac{1}{2e}\ \ }\end{align*}}$
　　　をとる。


　(3)
　　　曲線y=ｆ(x)上の点(p，ｆ(p))における接線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-p^{-2}\log p=\frac{1-2\log p}{p^3}(x-p)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{1-2\log p}{p^3}\ x+\frac{3\log p-1}{p^2}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　これが原点を通るとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{3\log p}{p^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \log p=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\sqrt[3]{\sf e}\end{align*}}$
　　　となるので、接線Lの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1-\frac{2}{3}}{e}\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{x}{3e}\ \ }\end{align*}}$
　　　である。


　(4)
　　　まず、部分積分法を用いると、ｍ≠－1より、　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x^m\log x\ dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\ log x-\int \frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^{m+1}}{m+1}\ log x-\frac{1}{m+1}\int x^m\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^{m+1}}{m+1}\ log x-\frac{x^{m+1}}{(m+1)^2} +C\end{align*}}$　　←Cは積分定数
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x^{m+1}}{(m+1)^2}\left\{(m+1)log x-1\right\} +C\ \ }\end{align*}}$　････①

　　　ｆ(x)=0となるのは、x=1のときなので、
　　　曲線y=ｆ(x)の直線Lおよびx軸との位置関係は
　　　右図のようになる。
　　　よって、求める部分の面積Sは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\sqrt[3]{\sf e}}\frac{x}{3e}\ dx-\int_1^{\sqrt[3]{\sf e}}x^{-2}\log x\ dx\end{align*}}$
　　　で求めることができる。
　　　ここで、①にｍ=－2を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x^{-2}\log x\ dx=x^{-1}\left(-\log x-1\right)+C\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\left[\frac{x^2}{6e}\right]_0^{\sqrt[3]{\sf e}}-\left[x^{-1}\left(-\log x-1\right)\right]_1^{\sqrt[3]{\sf e}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6\sqrt[3]{\sf e}}-\frac{1}{\sqrt[3]{\sf e}}\left(-\frac{1}{3}-1\right)+1\cdot (0-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2\sqrt[3]{\sf e}}-1\ \ }\end{align*}}$ ．



　　しっかりした誘導がついているので、そのまま解いてゆくだけです！