2011関西学院大 理系（全学部日程） 数学２

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【解答】

　(1)
　　　Pは、単位円周上の点なので、　
　　　　　　　　P(cosｔ，sinｔ，0)．

　(2)
　　　(1)より、Qの座標は、Q(－cosｔ，－sinｔ，0)となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=\left(\cos t-\sqrt3\ ,\ \sin t-1\ ,\ -1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BQ}=\left(-\cos t-\sqrt3\ ,\ -\sin t-1\ ,\ -1\right)\end{align*}}$
　　　であり、これらの内積を計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf BQ}=\left(\cos t-\sqrt3\right)\left(-\cos t-\sqrt3\right)+\left(\sin t-1\right)\left( -\sin t-1\right)+\left(-1\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(3-\cos^2 t\right)+\left(1-\sin^2 t\right)+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4\ \ }\ \ \ \left(\because\ \sin^2 t+\cos^2 t=1\right)\end{align*}}$ ．
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf BP}\right|^2=\left(\cos t-\sqrt3\right)^2+ \left(\sin t-1\right)^2+(-1)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\cos^2 t-2\sqrt3\cos t+3\right)+ \left(\sin^2 t-2\sin t+1\right)+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-2\left(\sin t+\sqrt3 \cos t\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-4\left(\frac{1}{2}\ \sin t+\frac{\sqrt3}{2}\ \cos t\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-4\left(\sin t\ \cos\frac{\pi}{3}+ \cos t\ \sin\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m=6\ \ ,\ \ n=4\ \ ,\ \ \alpha=\frac{\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(2)と同様に計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf BQ}\right|^2=\left(-\cos t-\sqrt3\right)^2+ \left(-\sin t-1\right)^2+(-1)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6+4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
　　　となる。
　　　また、∠PBQ=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、内積の定義より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf BP}}{\left|\overrightarrow{\sf BP}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf BQ}\right|}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{\sqrt{6-4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)}\sqrt{6+4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{\sqrt{9-4\sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)}}\end{align*}}$ ････①
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq t\leqq \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{3}\leqq t+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{4\pi}{3}\end{align*}}$
　　　であり、この範囲において、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{2}\leqq \sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\leqq 1\end{align*}}$ ．
　　　よって、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ が最小になるのは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t+\frac{\pi}{3}=\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{2\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$
　　　のときであり、①よりその値は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta_{min}=\frac{2}{\sqrt{9-0}}=\underline{\ \frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　一方、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ が最大になるのは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ t+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$
　　　のときであり、①よりその値は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta_{max}=\frac{2}{\sqrt{9-4}}=\underline{\ \frac{2}{\sqrt5}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(4)
　　　(3)より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ t=\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
　　　のとき、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BP}|=\sqrt{6-4\sin\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt6\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BQ}|=\sqrt{6+4\sin\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt6\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt5}{3}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BPQ=\frac{1}{2}\cdot \sqrt6\cdot\sqrt6\cdot\frac{\sqrt5}{3}=\underline{\ \sqrt5\ }\end{align*}}$




　　流れに乗っていけば、最後までたどり着くはずです。