ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\end{align*}}$ 　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^n-\frac{4}{3}\end{align*}}$ 　　　エ X²－14X+48

　　オ 6　　　カ 8　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+\sqrt{33}}{2}\end{align*}}$ 　　　ク 81　　　ケ 175　　　コ 4

【解説】

　(1)
　　　与式は　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n-\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　と変形でき、これから
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{2}\ t-\frac{2}{3}\end{align*}}$　････①
　　　を辺々引くと
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-t=\frac{1}{2}\left(a_n-t\right)\end{align*}}$ 　････②
　　　となる。①を満たすｔの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-\frac{4}{3}\end{align*}}$
　　　なので、②は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{n+1}+\frac{4}{3}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{4}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　これより、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n+\frac{4}{3}\right\}\end{align*}}$ は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+\frac{4}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(a_1+\frac{4}{3}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(-\frac{5}{6}+\frac{4}{3}\right)-\frac{4}{3}=\underline{\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\frac{4}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．


　(2)
　　　X=x²－xとおくと、
　　　　　　　　　　(x+1)(x－2)(x+3)(x－4)=－24
　　　　　　　　⇔　(x²－x－2)(x²－x－12)+24=0
　　　　　　　　⇔　(X－2)(X－12)+24=0
　　　　　　　　⇔　X²－14X+48=(X－6)(X－8)=0
　　　　　　　　⇔　X=6，8
　　　・X=6のとき
　　　　　　　　　　x²－x=6　⇔　x²－x－6=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　x=－2，3
　　　・X=8のとき
　　　　　　　　　　x²－x=8　⇔　x²－x－8=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1\pm\sqrt{33}}{2}\end{align*}}$
　　　　この中で最大の解は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{1+\sqrt{33}}{2}\ \ }\ \ \ (\because\ \sqrt{33}>5)\end{align*}}$


　(3)
　　　　　ボールの取り出し方の総数は、4⁴=256通り

　　　・最大が3以下であるためには、
　　　　a、b、c、dがすべて3以下であればよいので、
　　　　　　　　　　3⁴=81通り

　　　・「最大値が4」の余事象は、「最大値が3以下」なので、
　　　　　　　　　　256－81=175通り

　　　・a+b+c+d=15となるのは、
　　　　　　　(a，b，c，d)=(3，4，4，4)、(4，3，4，4)
　　　　　　　　　　　　　　　　(4，4，3，4)、(4，4，4，3)
　　　　　の4通り である。
　　　　

　　　　　　　　　　


　　これは平易ですね。