2011千葉大 数学14

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【解答】

　(１)
　　　与式
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x^2+y^2}\geqq x+y+a\sqrt{xy}\end{align*}}$
　　　の両辺をｘ（＞０）で割ると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\geqq 1+\frac{y}{x}+a\ \sqrt{\frac{y}{x}}\end{align*}}$ ．
　　　この式において、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt{\frac{y}{x}}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1+t^4}\geqq 1+t^2+a\ t\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\ t\leqq \sqrt{1+t^4}-1-t^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq \sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}-\left(t+\frac{1}{t}\right)=\sqrt{\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2}-\left(t+\frac{1}{t}\right)\end{align*}}$
　　　と変形でき、さらに
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=t+\frac{1}{t}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\leqq \sqrt{T^2-2}-T\end{align*}}$ ････①

　　　ここで、ｔ＞０なので、相加･相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t+\frac{1}{t}\geqq 2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}\ \ \Leftrightarrow\ \ T\geqq 2\end{align*}}$ ････②
　　　①の右辺をＴの関数をみなして
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (T)=\sqrt{T^2-2}-T\ \ \ \ (T\geqq 2)\end{align*}}$
　　　とおくと、その導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(T)=\frac{2T}{2\sqrt{T^2-2}}-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{T-\sqrt{T^2-2}}{\sqrt{T^2-2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(T-\sqrt{T^2-2}\right)\left(T+\sqrt{T^2-2}\right)}{\sqrt{T^2-2}\left(T+\sqrt{T^2-2}\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{\sqrt{T^2-2}\left(T+\sqrt{T^2-2}\right)}>0\ \ \ (\because T\geqq 2)\end{align*}}$
　　　となるので、ｆ(Ｔ)は単調増加関数である。
　　　よって、任意のＴに対して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (T)\geqq f\ (2)=\sqrt2 -2\end{align*}}$
　　　が成り立つので、①を常に満たすようなａの最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\sqrt2 -2\ \ }\end{align*}}$ ．


　(２)
　　　ｘについての関数ｇ(ｘ)を
　　　　　　　　ｇ(ｘ)＝ｘ(１－ｘ²)＝－ｘ³＋ｘ　　（０≦ｘ≦１）
　　　と定義すると、導関数は
　　　　　　　　ｇ’(ｘ)＝－３ｘ²＋１
　　　となるので、増減表は次のようになる。
　　　　　　　

　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq g\ (x)\leqq\frac{2}{3\sqrt3}\end{align*}}$　．
　　　従って、０以上１以下のａ、ｂ、ｃ、ｄに対して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq g\ (a)\leqq\frac{2}{3\sqrt3}\end{align*}}$　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq g\ (b)\leqq\frac{2}{3\sqrt3}\end{align*}}$　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq g\ (c)\leqq\frac{2}{3\sqrt3}\end{align*}}$　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq g\ (d)\leqq\frac{2}{3\sqrt3}\end{align*}}$　
　　　が成り立つので、これらを辺々かけると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq g\ (a)\ g\ (b)\ g\ (c)\ g\ (d)\leqq\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^4 \end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq abcd(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)\leqq\left(\frac{4}{27}\right)^2\end{align*}}$　････③
　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf abcd> \frac{4}{27}\end{align*}}$　　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)>\frac{4}{27}\end{align*}}$
　　　であるとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf abcd(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)>\left(\frac{4}{27}\right)^2\end{align*}}$
　　　となり、③に矛盾する。
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf abcd\leqq \frac{4}{27}\end{align*}}$　　または　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)\leqq\frac{4}{27}\end{align*}}$
　　　が成り立つ。



　　(２)は(１)からの誘導かと思いきや、、、、
　　ぜんぜん無関係でしたね＾＾；；