2011千葉大 数学15

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【解答】

　　　ｘ²＋ｙ²＝ｋ（≧０）とおく。
　　　ｘ²＝ｋ－ｙ²を与式に代入すると、
　　　　　　　　ｋ²－{３(ｋ－ｙ²)ｙ²}ｙ＝０
　　　　　　⇔　ｋ²－４ｙｋ＋４ｙ³＝０　････①
　　　①をｋについての二次方程式とみなすと、
　　　ｋは実数なので　判別式を考えると、
　　　　　　　　Ｄ＝９ｙ²－16ｙ³＝ｙ²(９－16ｙ)≧０．
　　　これとｙ≧０より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq y\leqq \frac{9}{16}\end{align*}}$ ････②
　　　また、①をｋについて解くと、ｙ≧０なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{3y\pm\sqrt{9y^2-16y^3}}{2}=\frac{y}{2}\left(3\pm\sqrt{9-16y}\right)\end{align*}}$　････③
　　　となり、②の範囲でｙについての２つの関数を
　　　　　　　 　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (y)=\frac{y}{2}\left(3+\sqrt{9-16y}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　 　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (y)=\frac{y}{2}\left(3-\sqrt{9-16y}\right)\end{align*}}$
　　　とおく。
　　　まず、ｆ(ｙ)について、導関数を求めると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(y)=\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{9-16y}\right)+\frac{y}{2}\cdot\frac{-16}{2\sqrt{9-16y}}\end{align*}}$　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\left(\sqrt{9-16y}-8y+3\right)}{2\sqrt{9-16y}}\end{align*}}$　
　　　となるので、ｆ’(ｘ)＝０となるとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{9-16y}=8y-3\end{align*}}$ ．　････④
　　　両辺を２乗すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9-16y=(8y-3)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ y=0\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　を得るが、④の右辺は０以上なので、
　　　ｆ’(ｙ)＝０となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のときである。
　　　これらより、②の範囲でｆ(ｙ)の増減は下のようになる。
　　　　　　　

　　　一方、ｇ(ｙ)について、ｆ(ｙ)と同様に計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(y)=\frac{3\left(\sqrt{9-16y}+8y-3\right)}{2\sqrt{9-16y}}\end{align*}}$　
　　　となるので、ｇ’(ｘ)＝０となるとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{9-16y}=3-8y\end{align*}}$ ．　････⑤
　　　両辺を２乗してｙを求めると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=0\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　を得るが、⑤の右辺は０以上なので、
　　　ｇ’(ｙ)＝０となるのはｙ＝０のときである。
　　　これらより、②の範囲でｇ(ｙ)の増減は下のようになる。
　　　　　　　
　　

　　　２つの増減表より、③を満たすようなｋの最大値はｋ＝１であり、
　　　そのときのｙは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\sqrt3}{2}\ (>0)\end{align*}}$
　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \ y=\frac{1}{2}\end{align*}}$　のとき、ｘ²＋ｙ²は最大値１をとる。




　　以下のような手もあります。
　　　
　　　　　ｘ＝ｒcos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、ｙ＝ｒsin$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換すると、
　　　　　　　　　ｘ²＋ｙ²＝ｒ²
　　　　　であり、与式は、
　　　　　　　　　(ｒ²)²－(３ｒ²cos²$\scriptsize\sf{\theta}$ －ｒ²sin²$\scriptsize\sf{\theta}$ )ｒcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝０
　　　　　　　⇔　ｒ³ (ｒ－３cos³$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin²$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )＝０
　　　　　と変形できるので、ｒ≠０のとき
　　　　　　　　　ｒ＝３cos³$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋sin²$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　　　＝３cos³$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋(１－cos²$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　
　　　　　　　　　　＝４cos³$\scriptsize\sf{\theta}$ －３cos$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　　　＝cos３$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　←３倍角の公式
　　　　　よって、３$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ /2　すなわち　$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ /6のとき
　　　　　ｒは最大値１をとる。
　　　　　すなわち、ｘ²＋ｙ²は最大値１をとる。
　　　　　このとき、
　　　　　　　　　　ｘ＝cos$\scriptsize\sf{\pi}$ /6＝√3/2
　　　　　　　　　　ｙ＝sin$\scriptsize\sf{\pi}$ /6＝1/2 ．
　
　　この方が計算は圧倒的に簡単ではありますが、
　　１行目の置換はまだしも、３倍角の公式にもちこむ部分を思いつくかどうか？？