2011千葉大 数学12

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【解答】

　　ｎ回移動した後に部屋Ａ₁にいる確率をｐ_nとすると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\frac{1}{k}\end{align*}}$ ．
　　ｎ回移動後にＡ₁にいるためには、
　　ｎ回目の移動直前（ｎ－１回目の移動後）にＡ₁以外の部屋にいる
　　必要があり、その状態から次の移動でＡ₁が選ばれる確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k}\end{align*}}$
　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{k}\ (1-p_{n-1})\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=-\frac{1}{k}\ p_{n-1}+\frac{1}{k}\end{align*}}$ ．
　　この式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{k+1}=-\frac{1}{k}\left(p_{n-1}-\frac{1}{k+1}\right)\end{align*}}$
　　と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{k+1}\right\}\end{align*}}$ は、公比$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{k}\end{align*}}$ の等比数列に
　　なるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{k+1}=\left(-\frac{1}{k}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{k+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\left(-\frac{1}{k}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)+\frac{1}{k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\frac{1}{k}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(-\frac{1}{k}\right)^{n}\cdot\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{k+1}\left\{1-\left(-\frac{1}{k}\right)^{n}\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　これはよくある「漸化式をつくって確率を求める」ってヤツですね。