第８問
ｎ段の階段を上るのに、一歩で１段、２段、または３段を上ることが
できるとする。この階段の上り方の総数をａnとおく。例えば、ａ1＝１、
ａ2＝２、ａ3＝４である。
(１) ａ4、ａ5の値を求めよ。
(２) ａn、ａn+1、ａn+2、ａn+3（ｎ≧１）の間に成り立つ関係式を求めよ。
(３) ａ10の値を求めよ。
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【解答】
(１)
４段目に来るのは次の３つの場合が考えられる。
(ア) １段目から３段上ってくる･･･ａ1通り
(イ) ２段目から２段上ってくる･･･ａ2通り
(ウ) ３段目から１段上ってくる･･･ａ3通り
よって、４段目に来る場合の数は、
ａ4＝ａ1＋ａ2＋ａ3
＝１＋２＋４
＝７ ．
同様に考えると、
ａ5＝ａ2＋ａ3＋ａ4
＝２＋４＋７
＝13 ．
(２)
(１)と同様に考えると、
ｎ＋３段目に来るのは次の３つの場合が考えられる。
(ⅰ) ｎ段目から３段上ってくる･･･ａn通り
(ⅱ) ｎ＋１段目から２段上ってくる･･･ａn+1通り
(ⅲ) ｎ＋２段目から１段上ってくる･･･ａn+2通り
よって、ｎ＋３段目に来る場合の数は、
ａn+3＝ａn＋ａn+1＋ａn+2．
(３)
(２)より、
ａ6＝ａ3＋ａ4＋ａ5＝4＋7＋13＝24
ａ7＝ａ4＋ａ5＋ａ6＝7＋13＋24＝44
ａ8＝ａ5＋ａ6＋ａ7＝13＋24＋44＝81
ａ9＝ａ6＋ａ7＋ａ8＝24＋44＋81＝149
ａ10＝ａ7＋ａ8＋ａ9＝44＋81＋149＝ 274
トリボナッチ数列と呼ばれる数列です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/09(金) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2011
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