2011千葉大 数学10

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【解答】

　(１)
　　　Ｏは三角形ＡＢＣの外心なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ ････①
　　　また、題意より　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}{3}=\frac{1}{3}}\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OB}=-\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ ････②
　　　これらより、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$　←②より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf OA}|^2-|\overrightarrow{\sf OB}|^2\end{align*}}$ ．　←①より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
　　　よって、ＡＢ⊥ＡＣとなるので、三角形ＡＢＣは直角三角形である。

　(２)
　　　題意より、３ｋ－１≠０なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3}=k\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OA}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3k-1}\end{align*}}$ ． ････③
　　　ここで、ＢＣの中点をＭとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}\end{align*}}$　････④
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AM}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\left(\overrightarrow{\sf OM}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}-\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3k-1}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$　←③，④より
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3k-3}{2(3k-1)}\left(\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3k-3}{2(3k-1)}\left(|\overrightarrow{\sf OB}|^2-|\overrightarrow{\sf OC}|^2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ．　←①より
　　　よって、ＡＭ⊥ＢＣとなり、ＭはＢＣの中点なので、
　　　三角形ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形となる。

　(３)
　　　(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\ne\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ のとき、すなわちＩとＯが一致しないとき

　　　　(２)と同様、辺ＢＣの中点をＭとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }=\overrightarrow{\sf OM}-\overrightarrow{\sf \rm I\sf M}\end{align*}}$
　　　　なので、与式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OM}-\overrightarrow{\sf \rm I\sf M}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BC}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf \rm I\sf M}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\overrightarrow{\sf OM}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\overrightarrow{\sf \rm I\sf B}+\overrightarrow{\sf \rm I\sf C}}{2}\cdot\left(\overrightarrow{\sf \rm I\sf C}-\overrightarrow{\sf \rm I\sf B}\right)=\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{|\overrightarrow{\sf \rm I\sf C}|^2-|\overrightarrow{\sf \rm I\sf C}|^2}{2}=\frac{|\overrightarrow{\sf OC}|^2-|\overrightarrow{\sf OB}|^2}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf \rm I\sf C}|^2-|\overrightarrow{\sf \rm I\sf C}|^2=0\end{align*}}$　←①より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf \rm I\sf B}|=|\overrightarrow{\sf \rm I\sf C}|\end{align*}}$ ．
　　　　よって、三角形ＩＢＣは二等辺三角形になるので、
　　　　　　　∠ＩＢＣ＝∠ＩＣＢ．　････⑤
　　　　ここで、Ｉは三角形ＡＢＣの内心なので、
　　　　　　　∠ＡＢＣ＝２∠ＩＢＣ 、　∠ＡＢＣ＝２∠ＩＣＢ
　　　　であり、⑤より、
　　　　　　　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ．
　　　　よって、２角が等しいので、三角形ＡＢＣは二等辺三角形となる。


　　　(ⅱ) ＩとＯが一致するとき
　
　　　　①より、ＩＢ＝ＩＣとなり、三角形ＩＢＣは二等辺三角形となる。
　　　　以下は、(ⅰ)と同様に考えると、
　　　　三角形ＡＢＣは二等辺三角形となる。



　　(３)が難しいでしょうね。もう少し図形的な性質を利用していけば、
　　楽になりそうですね。