2011千葉大 数学９

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【解答】

　(１)
　　　一辺の長さがｒである正方形Ｒ₁の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{1}\left(1\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{1}\left(1-r\ ,\ 1+r\right)\end{align*}}$
　　　一辺の長さがｒ²である正方形Ｒ₂の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{2}\left(1-r\ ,\ 1+r\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{2}\left(1-r-r^2\ ,\ 1+r-r^2\right)\end{align*}}$
　　　一辺の長さがｒ³である正方形Ｒ₃の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{3}\left(1-r-r^2\ ,\ 1+r-r^2\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{3}\left(1-r-r^2+r^3\ ,\ 1+r-r^2-r^3\right)\end{align*}}$
　　　一辺の長さがｒ²である正方形Ｒ₄の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{4}\left(1-r-r^2+r^3\ ,\ 1+r-r^2-r^3\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{4}\left(1-r-r^2+r^3+r^4\ ,\ 1+r-r^2-r^3+r^4\right)\end{align*}}$

　(２)
　　　正方形Ａ_4nにおいて、
　　　頂点Ａ_4nは左下、Ｃ_4nは右上に位置するので、
　　　(１)と同様に考えると、
　　　一辺の長さがｒ⁴ⁿである正方形Ｒ_4nの頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{4n}\left(x_n\ ,\ y_n\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{4n}\left(x_n+r^{4n}\ ,\ y_n+r^{4n}\right)\end{align*}}$
　　　一辺の長さがｒ⁴ⁿ⁺¹である正方形Ｒ_4n+1の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{4n+1}\left(x_n+r^{4n}\ ,\ y_n+r^{4n}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{4n+1}\left(x_n+r^{4n}-r^{4n+1}\ ,\ y_n+r^{4n}+r^{4n+1}\right)\end{align*}}$
　　　一辺の長さがｒ⁴ⁿ⁺²である正方形Ｒ_4n+2の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{4n+2}\left(x_n+r^{4n}-r^{4n+1}\ ,\ y_n+r^{4n}+r^{4n+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{4n+2}\left(x_n+r^{4n}-r^{4n+1}-r^{4n+2}\ ,\ y_n+r^{4n}+r^{4n+1}-r^{4n+2}\right)\end{align*}}$
　　　一辺の長さがｒ⁴ⁿ⁺³である正方形Ｒ_4n+3の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{4n+3}\left(x_n+r^{4n}-r^{4n+1}-r^{4n+2}\ ,\ y_n+r^{4n}+r^{4n+1}-r^{4n+2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_{4n+3}\left(x_n+r^{4n}-r^{4n+1}-r^{4n+2}+r^{4n+3}\ ,\ y_n+r^{4n}+r^{4n+1}-r^{4n+2}-r^{4n+3}\right)\end{align*}}$
　　　一辺の長さがｒ⁴ⁿ⁺⁴である正方形Ｒ_4n+4の頂点は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{4n+4}\left(x_n+r^{4n}-r^{4n+1}-r^{4n+2}+r^{4n+3}\ ,\ y_n+r^{4n}+r^{4n+1}-r^{4n+2}-r^{4n+3}\right)\end{align*}}$
　　　このＡ_4n+4の座標が(ｘ_4n+4，ｙ_4n+4)なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+1}-x_n=r^{4n}-r^{4n+1}-r^{4n+2}+r^{4n+3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =r^{4n}\left(1-r-r^{2}+r^{3}\right)\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_{n+1}-y_n=r^{4n}+r^{4n+1}-r^{4n+2}-r^{4n+3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =r^{4n}\left(1+r-r^{2}-r^{3}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(３)
　　　ｎ→∞を考えるので、ｎ≧２としてもよい。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n=x_0+\sum_{k=0}^{n-1}\ \left(x_{k+1}-x_k\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=0}^{n-1}\ r^{4k}\ \left(1-r-r^2+r^3\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-r-r^2+r^3\right)\sum_{k=0}^{n-1}\ r^{4k}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{(1-r^2)-r(1-r^2)\right\}\sum_{k=1}^{n}\ r^{4(k-1)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-r^2)(1-r)\cdot\frac{1-r^{4n}}{1-r^{4}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1-r)\left(1-r^{4n}\right)}{1+r^2}\end{align*}}$
　　　ここで、０＜ｒ＜１より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ r^{4n}=0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n=\underline{\ \frac{1-r}{1+r^2}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　同様に考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+r-r^2-r^3=(1-r^2)+r(1-r^2)=(1-r^2)(1+r)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ y_n=\underline{\ \frac{1+r}{1+r^2}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　計算がタイヘンですが、図さえキチンと書けば大丈夫だと思います。