2011千葉大 数学７

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【解答】

　　　手の出し方の総数は、３ⁿ通りある。

　(１)
　　　勝つ人の選び方はｎ通りあり、どの手で勝つかは
　　　グー、チョキ、パーの３通りあるので、
　　　１人だけ勝つ場合の手の出し方は３ｎ通りある。
　　　よって、求める確率は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3n}{3^n}=\underline{\ \frac{n}{3^{n-1}}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　ｋ人（ｋ＝１，２，･･･，ｎ－１）だけが勝つ場合を考える。
　　　勝つ人の選び方は_nＣ_k通りあり、どの手で勝つかは３通り
　　　あるので、手の出し方は ３･_nＣ_k 通り。
　　　よって、勝負が決まるような手の出し方の総数をＮとすると、
　　　　　　Ｎ＝３(_nＣ₁＋_nＣ₂＋･･･＋_nＣ_n-1)
　　　である。
　　　ここで、二項定理より
　　　　　　　(１＋１)ⁿ＝_nＣ₀＋_nＣ₁＋_nＣ₂＋･･･＋_nＣ_n-1＋_nＣ_n
　　　　　⇔　_nＣ₁＋_nＣ₂＋･･･＋_nＣ_n-1＝(１＋１)ⁿ－_nＣ₀－_nＣ_n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２ⁿ－２
　　　なので、
　　　　　　　Ｎ＝３(２ⁿ－２) ．
　　　よって、勝負が決まらない、すなわち「あいこ」になる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{N}{3^n}=\underline{\ \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(３)
　　　(２)より、勝つ人数がｋ人（ｋ＝１，２，･･･，ｎ－１）となる確率は、
　　　それぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_nC_k}{3^{n-1}}\end{align*}}$ なので、勝つ人数の期待値をＥとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=\sum_{k=1}^{n-1}\ k\cdot\frac{_{n}C_k}{3^{n-1}}=\frac{1}{3^{n-1}}\sum_{k=1}^{n-1}\ k\cdot_{\ n}C_k\end{align*}}$
　　　で求めることができる。
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\cdot_{\ n}C_k=k\cdot\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\cdot_{n-1}C_{k-1}\end{align*}}$　･･･①
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=\frac{n}{3^{n-1}}\sum_{k=1}^{n-1}\ _{n-1}C_{k-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{3^{n-1}}\left(_{n-1}C_0+_{n-1}C_1+\ldots +_{n-1}C_{n-2}\right)\end{align*}}$ ．
　　　(２)と同様、二項定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+1)^{n-1}=_{n-1}C_0+_{n-1}C_1+\ldots +_{n-1}C_{n-2}+_{n-1}C_{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ _{n-1}C_0+_{n-1}C_1+\ldots +_{n-1}C_{n-2}=(1+1)^{n-1}-_{n-1}C_{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2^{n-1}-1\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=\underline{\ \frac{n(2^{n-1}-1)}{3^{n-1}}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　(３)の①の処理が少し難しいかもしれません。