第6問
三角形ABCの外心をO、重心をGとする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ならば、三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ。
(2) kがk≠$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ を満たす実数で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=k\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ が成り立つならば、三角形ABCは
二等辺三角形であることを証明せよ。
--------------------------------------------
【解答】
(1)
Oは三角形ABCの外心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ ・・・・①
また、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3}=\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OB}=-\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ ・・・・②
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf OA}|^2-|\overrightarrow{\sf OB}|^2\end{align*}}$ . ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
よって、AB⊥ACとなるので、三角形ABCは直角三角形である。
(2)
題意より、3k-1≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3}=k\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OA}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3k-1}\end{align*}}$ . ・・・・③
ここで、BCの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}\end{align*}}$ ・・・・④
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AM}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\left(\overrightarrow{\sf OM}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}-\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3k-1}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$ ←③,④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3k-3}{2(3k-1)}\left(\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3k-3}{2(3k-1)}\left(|\overrightarrow{\sf OB}|^2-|\overrightarrow{\sf OC}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ . ←①より
よって、AM⊥BCとなり、MはBCの中点なので、
三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形となる。
(2)では、与えられた条件式がBとCについて対称であることに気づけば、
ABとACが等しい辺であると予測できると思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/09(金) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0