2011千葉大 数学３

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【解答】

　(１)
　　　正方形ＡＢＣＤの対角線の交点をＨとすると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AH=\frac{1}{2}\ AC=\sqrt2\end{align*}}$
　　　であり、ＯＨ⊥ＡＨより
　　　△ＯＡＨで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5-2}=\underline{\ \sqrt3\ \ }\end{align*}}$ ．



　(２)
　　　四角錐ＯＡＢＣＤの体積をＶとすると、(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot2^2\cdot\sqrt3=\frac{4\sqrt3}{3}\end{align*}}$ ．　････①
　　　ここで、ＢＣの中点をＭとすると、ＯＭ⊥ＢＣなので、
　　　△ＯＢＭで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{5-1}=2\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OBM=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2\end{align*}}$ ．
　　　内接球Ｓの中心をＩとすると、４つの三角錐
　　　　　　ＩＯＢＣ、ＩＯＣＤ、ＩＯＤＡ、ＩＯＡＢ
　　　の体積はすべて等しいので、
　　　　　　　　Ｖ＝４×(三角錐ＩＯＢＣ)＋四角錐ＩＡＢＣＤ
　　　であり、Ｓの半径をｒとすると、
　　　　　　　　Ｖ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ｒ(４△ＯＢＣ＋正方形ＡＢＣＤ)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4\sqrt3}{3}=\frac{r}{3}\times\left(2\cdot 4+2^2\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ r=\frac{\sqrt3}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(３)
　　　(２)より、Ｓの表面積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\pi\cdot\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=\underline{\ \frac{4\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　であり、体積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3=\underline{\ \frac{4\sqrt3\ \pi}{27}\ \ }\end{align*}}$ ．


　　(２)ができれば(３)はオマケですね。