第２問
三角形ＡＢＣの面積は$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt3}{4}\end{align*}}$ 、外接円の半径は１、∠ＢＡＣ＝60°、
ＡＢ＞ＡＣである。このとき、三角形ＡＢＣの各辺の長さを求めよ。
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【解答】
ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ とおく。
まず、正弦定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sin 60^{\circ}}=2\cdot 1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\sqrt3\end{align*}}$ ．
三角形ＡＢＣの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ bc\ \sin 60^{\circ}=\frac{3+\sqrt3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ bc=\sqrt3+1\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2\ c^2=4+2\sqrt3\end{align*}}$ ････①’
余弦定理と①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt3\right)^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos60^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2+c^2=bc+3=4+\sqrt3\end{align*}}$ ････②
①’、②より、ｂ2、ｃ2は、ｔについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-\left(4+\sqrt3\right)\ t+4+2\sqrt3=0\end{align*}}$ ････③
の２解である。←解と係数の関係より
③の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=2\ ,\ 2+\sqrt3\end{align*}}$
でありｃ2＞ｂ2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\end{align*}}$ ．
以上より、３辺の長さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ BC=\sqrt3\ \ ,\ \ CA=\sqrt2\ \ ,\ \ AB=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\ \ }\end{align*}}$
まぁ普通ですな。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/08(木) 02:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2011
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