$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ は ｔ についての二次方程式 ｔ²－($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )ｔ+$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =0 の異なる2つの実数解なので、
　　判別式をDとすると、
　　　　D=(+$\scriptsize\sf{\beta}$ )²－4$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$
　　　　　=2($\scriptsize\sf{\alpha}$ ²+$\scriptsize\sf{\beta}$ ²)－($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )²＞0

　　これに①を代入して整理すると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 18\left(X-\frac{1}{6} \right)^2-12Y+1<0\end{align*}}$

　　②を代入して整理すると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 27\left(X-\frac{1}{6} \right)^2+3-\frac{2}{X-\frac{1}{6}}<0\end{align*}}$
　　分母を払うため、両辺に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(X-\frac{1}{6} \right)^2\end{align*}}$　をかけると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 27\left(X-\frac{1}{6} \right)^4+3\left(X-\frac{1}{6} \right)^2-2\left(X-\frac{1}{6} \right)<0\end{align*}}$
　　簡単のために　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=X-\frac{1}{6} \end{align*}}$　とおいて因数分解すると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s(3s-1)(9s^2+3s+2)<0\end{align*}}$
　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9s^2+3s+2=9\left(s+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{7}{4}\gt0\end{align*}}$ なので、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt s<\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\lt X<\frac{1}{2}\end{align*}}$