2011関西大 理系（全学部） 数学３

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【解答】

　(1)
　　　円Cの方程式は
　　　　　　　(x－2)²+(y－2)²=2
　　　と変形できるので、中心は(2，2)、半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　Cの中心から直線L：ｍx－y=0までの距離をdとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}\end{align*}}$ ．
　　　であり、CとLが異なる2点で交わるので、
　　　dがCの半径より小さければよい。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}<\sqrt2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2m-2)^2<2(m^2+1)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2-\sqrt3
　(3)
　　　円Cの中心をＯとし、CとLの2交点をA、Bとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=\sqrt2\end{align*}}$ ．
　　　また、ABの中点をＭとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=BM=1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=d=\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}\end{align*}}$
　　　なので、△ＯAＭにおいて三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}\right)^2+1^2=\left(\sqrt2\right)^2\end{align*}}$ ．
　　　これを整理すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3m^2-8m+3=0\end{align*}}$
　　　となり、これを(2)の範囲で解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m=\frac{4\pm\sqrt7}{3}\ \ }\end{align*}}$


　　(3)は交点の座標を求める必要はありません。