① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$　　　　③ －p　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\ (2p+1)\end{align*}}$　
　⑤ (－p)ⁿ+2p+1　　⑥ 2p+1　　⑦ －p$\scriptsize\sf{\pi}$


【解説】

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ \cos a_{n+1}=\sin\left(pa_n+\frac{\pi}{3}(1-p)\right)\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$　････(※)
　(1)
　　　任意のｎに対して、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a_n\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$　････(A)
　　　なので、p=1のとき、(※)は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a_2=\sin a_1=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a_3=\sin a_2=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_3=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a_4=\sin a_3=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_4=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　･･･
　　　これより、自然数ｎに対して、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2n+1}=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ a_{2n}=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　と類推できる（帰納法による証明は略）。
　　　よって、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{49}=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ a_{50}=\frac{\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　pについての関数ｆ(p)を　　　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=pa_n+\frac{\pi}{3}(1-p)\ \ \ \ (0\lt p\leqq 1)\end{align*}}$
　　　と定めると、ｆ(p)は単調関数であり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=\frac{\pi}{3}\ \ ,\ \ 0\leqq f\ (1)=\ a_n\leqq \frac{\pi}{2}\ \ \ \ (\because\ (A)\ )\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq f\ (p)=pa_n+\frac{\pi}{3}(1-p)\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ．

　　　この範囲で(※)を満たすのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{\pi}{2}-\left\{p\ a_n+\frac{\pi}{3}\ (1-p)\right\}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_{n+1}=-p\ a_n+\frac{\pi}{6}\ (2p+1)\ \ }\end{align*}}$　････(B)
　　　となるときである。
　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-p\ t+\frac{\pi}{6}\ (2p+1)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\end{align*}}$
　　　より、(B)は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}=-p\left(a_n-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　これより数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right\}\end{align*}}$ は公比－pの等比数列となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}=\left(-p\right)^{n-1}\cdot\left(a_1-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\left(-p\right)^{n-1}\cdot\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right)+\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_n=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{(-p)^n+2p+1}{p+1}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　0＜p＜1より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ (-p)^n=0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{6}\cdot\frac{(-p)^n+2p+1}{p+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1} \ \ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\beta=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{(-p)^n}{p+1}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\left(a_n-\beta\right)=\frac{\pi}{6(p+1)}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\ (-p)^n\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6(p+1)}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{-p\left\{1-(-p)^N\right\}}{p+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{-p\ \pi}{6(p+1)^2}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　文字pが入った漸化式ですが、定数ですので、普通に解きましょう。