チ a　　　　ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2a}\end{align*}}$　　　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a}{2a^2+9}\end{align*}}$　　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6a}{2a^2+9}\end{align*}}$　　　　ナ 3

　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$　　　　ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a^2-2a+9}{2a}\end{align*}}$　　　　ネ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2-1\end{align*}}$　　　　ノ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{\sqrt2}\end{align*}}$　


【解説】

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax^2+\frac{y^2}{2a}=1\end{align*}}$　････①
　(1)
　　　Q(x₁，y₁)、R(x₂，y₂)とおくと、Q、Rにおける接線はそれぞれ、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　ax_1\ x+\frac{y_1\ y}{2a}=1\ \ ,\ \ ax_2\ x+\frac{y_2\ y}{2a}=1\end{align*}}$
　　　となり、これらがP(1，3)を通るので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　ax_1+\frac{3y_1}{2a}=1\ \ ,\ \ ax_2+\frac{3y_2}{2a}=1\end{align*}}$ ．
　　　これら2式は、
　　　2点Q(x₁，y₁)、R(x₂，y₂)が直線
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ ax+\frac{3y}{2a}=1\ \ }\end{align*}}$　････②
　　　上にあることを表している。
　　　②より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2a}{3}\left(-ax+1\right)\end{align*}}$　････②’
　　　これと①を連立させると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax^2+\frac{1}{2a}\left(\frac{2a}{3}\right)^2\left(-ax+1\right)^2=1\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2a^3+9a)\ x^2-4a^2+2a-9=0\end{align*}}$
　　　となり、これの2解がx₁、x₂なので、
　　　解と係数の関係より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2=\frac{4a^2}{2a^3+9a}=\frac{4a}{2a^2+9}\end{align*}}$　････③
　　　また、これと②’より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1+y_2=\frac{2a}{3}\left(-ax_1+1\right)+\frac{2a}{3}\left(-ax_2+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a}{3}\left\{-a(x_1+x_2)+2\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a}{3}\left\{-a\cdot\frac{4a}{2a^2+9}+2\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{12a}{2a^2+9}\end{align*}}$ ． ････④
　　　線分QRの中点をＭ(X，Y)とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (X\ ,\ Y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\ ,\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{2a}{2a^2+9}\ ,\ \frac{6a}{2a^2+9}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　これからaを消去すると、Y=3Xとなるので、
　　　Ｍは直線 y=3x 上にある。

　　　また、PQ=PRより
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x_1-1)^2+(y_1-3)^2=(x_2-1)^2+(y_2-3)^2\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x_1-1)^2-(x_2-1)^2=-(y_1-3)^2+(y_2-3)^2\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x_1-x_2)(x_1+x_2-2)=-(y_1-y_2)(y_1+y_2-6)\end{align*}}$
　　　であり、②’より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1-y_2=\frac{2a}{3}\left(-ax_1+1\right)-\frac{2a}{3}\left(-ax_2+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2a^2}{3}\left(x_1-x_2\right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x_1-x_2)(x_1+x_2-2)=\frac{2a^2}{3}\left(x_1-x_2\right)(y_1+y_2-6)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_1+x_2-2=\frac{2a^2}{3}(y_1+y_2-6)\ \ \ (\because x_1 \ne x_2)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4a}{2a^2+9}-2=\frac{2a^2}{3}\left(\frac{12a}{2a^2+9}-6\right)\end{align*}}$　←③、④より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^4-4a^3+16a^2+2a-9=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2a^2-1)(2a^2-2a+9)=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt2}\ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　P、Ｏから直線PQに下ろした垂線の足をH₁、H₂とすると、
　　　　　　　②　⇔　2a²x+3y－2a=0
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH_1=\frac{\left|2a^2+3\cdot 3-2a\right|}{\sqrt{(2a^2)^2+3^2}}=\frac{2a^2-2a+9}{\sqrt{4a^4+9}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\because\ \ 2a^2-2a+9=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{2}>0\ \ \right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH_2=\frac{\left|-2a\right|}{\sqrt{(2a^2)^2+3^2}}=\frac{2a}{\sqrt{4a^4+9}}\end{align*}}$ ．
　　　2つの三角形PQRとＯQRの底辺QRは共通なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}=\frac{OH_1}{OH_2}=\underline{\ \frac{2a^2-2a+9}{2a}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　この式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}=a+\frac{9}{2a}-1\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　a＞0より、相加・相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{9}{2a}-1\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{9}{2a}}-1=3\sqrt2-1\end{align*}}$ 　････⑤
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{S_1}{S_2}_{min}=3\sqrt2-1\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　⑤の等号が成立するのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{9}{2a}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{3}{\sqrt2}\ \ }\end{align*}}$
　　　のときである。



　　やっていることはそんなに難しくありませんが、計算が面倒ですね＾＾；；
　　　　点Pも直線ＯＭ：y=3x上にあることに気づけば、かなり楽になります。
　　　　　　　　PQ=PR かつ　ＭQ=ＭR
　　　　　　⇔　PＭ⊥QR
　　　　　　⇔　ＯＭ⊥QR
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\cdot\left(-\frac{2a^2}{3}\right)=-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{\sqrt2}\ \ (>0)}\end{align*}}$ ．
　　また、△PＭH₁∽△ＯＭH₂となるので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{S_1}{S_2}=\frac{OH_1}{OH_2}=\frac{PM}{OM}\end{align*}}$
　　であり、x座標で考えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{S_1}{S_2}=\frac{1-\frac{2a}{2a^2+9}}{\frac{2a}{2a^2+9}}=\frac{2a^2-2a+9}{2a}\end{align*}}$